Свободна лаборатория · Математика · 13–18 години
Най-добрата права
Как се избира една права през облак от точки, които не лежат на права? Прочети тук, после я потърси сам.
Отклонения и квадрати
За всяка точка мерим колко е над или под правата – това е отклонението. Точката над правата има положително отклонение, под нея – отрицателно. В симулацията всяко отклонение е и страната на истинско квадратче: площта му е квадратът на отклонението.
Най-добрата права е тази, при която общата площ на квадратчетата е най-малка. Затова методът се нарича „най-малки квадрати“.
Защо квадрати, а не самите отклонения? Защото отклоненията нагоре и надолу се унищожават: всяка права през средната точка има сума на отклоненията нула – и хоризонталната, и наклонената. Квадратите са винаги положителни и не могат да се унищожат.
Средната точка
Средната точка има за x средното на всички x, а за y – средното на всички y. Най-добрата права винаги минава през нея. Но обикновено не минава през нито една от точките: за разтега на ръцете и ръста най-близката точка е на 0,87 cm от нея. Правата през първата и последната точка е с около 19 % по-лоша.
Коя точка дърпа най-силно
Една точка далеч встрани от другите има дълъг лост: тя може сама да завърти цялата права. Ако в таблицата някой е записал разтег 105 cm вместо 175 cm, наклонът пада от 0,95 на 0,12. А точка точно над средното x няма лост – тя само вдига правата, наклонът не се мени.
Затова преди да вярваш на правата, погледни за точки, които стоят далеч от другите. Понякога те са просто грешка при записването.
Права или парабола
Хвърлената нагоре топка се качва и после пада: точките лежат на дъга. Права през тях е почти хоризонтална и сякаш казва, че връзка няма. А параболата минава почти през всички точки и дори познава земното ускорение – около 9,8 m/s². Слаба права не значи, че няма връзка: връзката може просто да не е права.
| Набор | Най-добрата права | r | Точките |
|---|---|---|---|
| Разтег на ръцете и ръст | y = 0,950·x + 8,66 | 0,99 | плътно |
| Температура и сладоледи | y = 3,10·x − 21,6 | 0,995 | плътно |
| Хвърлената топка | y = 0,13·x + 3,35 | 0,06 | дъга, не права |
| Номер на обувките и минути път до училище | y = 0,59·x − 7,26 | 0,19 | пръснато |
Числото r казва колко плътно лежат точките около правата: близо до 1 – плътно, близо до 0 – пръснато.
Връзката не е причина
Продадените сладоледи и слънчевите изгаряния на плажа лежат почти на права. Но сладоледът не причинява изгаряния: и двете растат с горещото време. За да кажем „причинява“, трябва опит, в който менем само едното, а всичко друго остава същото.
Не продължавай правата далеч
Правата за сладоледите е проверена между 14 и 32 °C. При −10 °C тя обещава −52,6 сладоледа – безсмислица. Правата описва само данните, от които е получена.
Какво е опростено
- Мерим само вертикалните отклонения: предсказваме y по x.
- Всички набори са измислени за упражнение – не са истински измервания.
- Квадратчетата на екрана са в пиксели: страната им е колкото отклонението по вертикала. Затова площите им се сравняват честно, макар хоризонталната страна да не е в единиците на x.
- Най-сложната крива е параболата.
Измерване в клас
В „Моите точки“ може да въведете свои измервания. Мерете само доброволно, по двойки, без имена и без снимки; данните остават в браузъра. Който не иска да бъде мерен, може да мери предмети – например дължината и масата на моливи.
За любопитните и за учителя
наклон = сборът на (x − средното x)·(y − средното y), разделен на сбора на (x − средното x)²; свободен член = средното y − наклон · средното x
Силата на дърпане на точка е 1/n плюс (x − средното x)², разделено на сбора на (x − средното x)². Ако разменим осите, правата е друга; произведението на двата наклона е r². Има и метод, който събира не квадратите, а самите стойности на отклоненията без знака – той се дърпа по-малко от далечните точки.
Методът е класически и се среща в много учебни материали.