Средното, медианата и изненадата

Средното е точката на равновесие

Събери всички числа и раздели сбора на броя им – това е средното. Представи си оста като дъска, а точките – като еднакви тежести. Средното е мястото, където трябва да сложиш опората, за да е дъската в равновесие.

средно = сбор : брой

Затова сборът от разстоянията до средното на точките вляво е точно равен на сбора от разстоянията на точките вдясно. При ръстовете от симулацията и двата сбора са 40,2 cm.

Една точка, преместена с някакво разстояние, мести средното с това разстояние, разделено на броя. Ако в клас от 15 ученици един порасне с 30 cm, средният ръст се качва с 2 cm.

Медианата е средната по ред

Подреди числата от най-малкото до най-голямото. Средното по ред число е медианата. При четен брой средно по ред няма – тогава медианата е средата между двете средни. Затова тя може да не е от набора: при 2, 3, 8, 9 медианата е 5,5.

Медианата гледа само реда на числата. Ако най-голямото число порасне още, редът не се мени и медианата стои.

Внимание: „половината числа са под медианата“ не винаги е вярно. При 5, 5, 5, 5, 9 медианата е 5, а под нея няма нито едно число.

Изненадата: една огромна заплата

В измислена фирма девет служители получават от 1100 до 1800 евро, а управителят – 9000 евро. Сравни трите числа за „центъра“:

Ако управителят вземе 20 000 евро, средното скача на 3190 евро (с една десета от неговия скок), а медианата остава 1275 евро. Кое число е честно, зависи от въпроса: „колко взема обикновеният служител“ – медианата; „колко пари са нужни за всички заплати“ – средното, умножено по броя.

Центърът не е всичко: разсейване

Два набора може да имат едно и също средно и да са съвсем различни: единият събран около средата, другият – разпилян на две групи. Затова гледаме и колко са разлети числата.

• Размах – най-голямото минус най-малкото. Една крайна точка го мени много: един ученик с ръст 190 cm почти удвоява размаха на класа.
• Средната половина – откъде докъде е средната половина от подредените числа. Една крайна точка почти не я мести.

Равни, но криви

Ако точките са огледални спрямо средата, средното и медианата съвпадат. Обратното не е вярно: при 1, 4, 4, 5, 6 и средното, и медианата са 4, но лявата опашка е по-дълга. Равенството не доказва огледалност.

Какво е опростено

• Стойностите са на стъпки: 1 cm, 50 евро или 1. Така сравненията „под средното“ са точни.
• Наборите са измислени. Ръстовете са правдоподобни за 13-годишни, а заплатите на служителите са около средната заплата в страната. Нищо не се отнася до истинска фирма или истински хора.
• Симулацията не казва кое число е „по-добро“ изобщо, а кое отговаря на даден въпрос.

Под капака (за по-големите)

• Квартили. Първият квартил е медианата на долната половина, третият – на горната (при нечетен брой медианата не влиза в нито една половина). Средната половина е между тях. Има и други правила за квартилите; при четен брой те дават едно и също.
• Средно отклонение – средното на разстоянията до средното. Стандартно отклонение – корен от средното на квадратите на тези разстояния (делим на броя, защото описваме самия набор).
• Медианата прави най-малък сбора от разстоянията до точките, а средното – сбора от квадратите им. При 1, 2, 3, 4, 100: сборът от разстоянията до 3 е 101, а до 22 е 156.

За учителя

Кога бихте ползвали средното и кога медианата, ако четете новина за заплати? Какво още бихте искали да знаете, освен едно число?

Ако правите опита с класа, ползвайте анонимни числа на хартия: не въвеждайте истински ръстове на ученици в платформата.

Темата е класическа и се среща в много учебни материали.