Колко са бонбоните?

Не броиш, а смяташ на части

Голямата задача се разбива на малки въпроси, на които можеш да отговориш приблизително. Такива задачи се наричат задачи на Ферми. За буркана въпросите са три:

1. Колко голям е съдът? (обемът му)
2. Колко място заема един предмет?
3. Каква част от съда наистина е заета от предметите?

брой ≈ φ · V_съд / V_{предмет}

Пример. Литровият буркан е около 1000 cm³. Един лещовиден бонбон заема около 0,65 cm³. Без празнините биха влезли 1000 : 0,65 ≈ 1530 бонбона. Но бонбоните запълват само около 2/3 от буркана, затова са около 1000.

Празнините

Еднакви предмети, изсипани в съд, никога не го запълват целия. Между тях остава въздух. Каква част от съда е заета, казва плътността на запълване φ:

• кълба (топчета, топки): около 60–64 %;
• сплеснати, лещовидни бонбони: около 66–69 % — повече от кълбата;
• зарчета, изсипани разбъркано: от 54 до 67 %.

Разклати! След разклащане предметите се наместват по-плътно и в същия съд влизат повече. При зарчетата разликата е най-голяма — над 100 зарчета в една кутия за обувки.

Два пъти по-голямо не е два пъти повече

• Купчина, два пъти по-висока: 2 пъти повече монети (расте само височината).
• Площад с двойна дължина и двойна ширина: 2 · 2 = 4 пъти повече хора.
• Буркан, два пъти по-широк и два пъти по-висок: 2 · 2 · 2 = 8 пъти повече бонбони.

Същото важи и наобратно: бонбони, два пъти по-малки във всяка посока, влизат 8 пъти повече. Това е „стълбата на измеренията“: линия, лице, обем.

Порядъкът: на кой етаж е числото

Добрата оценка не е точното число, а правилният порядък: стотици, хиляди или милиони. Представи си асансьор: етаж 3 са хилядите (1000–9999), етаж 6 — милионите. Оценка, която е до 2 пъти по-голяма или по-малка от истината, е добра. За много големи числа и 3 пъти е добре.

Изненада: в една класна стая 9 × 6 × 3 m се побират около 3 милиона топки за тенис на маса. Тежат около 8 тона, а да ги преброиш по една в секунда отнема повече от месец без сън.

Хора на площада и купчини

Колко души стоят на площад? Лицето по гъстотата: при рехава тълпа — около 1 човек на m², при гъста — около 2,4, при много гъста — около 4. Площад 100 на 50 m побира около 12 000 души при гъста тълпа, а не милион.

В купчината празнини няма: височината, делена на дебелината на един предмет. Лист хартия е около 0,1 mm, затова 1000 листа са високи само около 10 cm.

Мъдростта на тълпата

През 1906 година на селски панаир около 800 души познавали колко тежи един вол. Средната оценка (медианата) била на по-малко от 1 % от истината. Опитайте с класа: всеки отбор дава оценка и сравнявате медианата с истинския брой.

Какво е опростено

• Предметите са еднакви и разбъркани. Картинката е схема: симулацията не търкаля бонбони, а умножава обема по измерената средна плътност.
• Край стените на малък съд остават повече празнини: там истинският брой е малко по-малък.
• Ако в съда влизат само няколко предмета, правилото не важи — преброй ги! А ако предметът е по-широк от съда, той просто не влиза.
• Тълпата е еднакво гъста навсякъде, а купчината е идеално права.

Много гъстите тълпи са неудобни и могат да са опасни; затова организаторите ограничават колко души пускат.