Отгатни правилото

Машината е функция

Машината получава число — вход — и връща число — изход. За един и същ вход тя винаги дава един и същ изход. Математиците наричат такава машина функция.

Машините могат да се свързват във верига: изходът на първата е вход на втората. Веригата „Умножи по 3, после извади 2“ превръща 5 в 3 · 5 − 2 = 13.

Колко примера стигат?

Една тайна машина дава 16 за входовете 1, 3, −1 и −3. Дали винаги дава 16? Не! За 0 тя дава 25. Машината е „Повдигни на квадрат, извади 5, пак повдигни на квадрат“: (0 − 5)² = 25.

Няколко съвпадения не доказват правило. Но един контрапример — число, за което правилото не работи — стига, за да го опровергае. Затова грешният отговор на машината не е провал, а подарък: той ти казва нещо ново.

Знаеш ли, че… Една известна формула от XVIII век дава прости числа за всички входове от 0 до 39, а за 40 дава 1681 = 41 · 41. Четиридесет успешни опита не доказаха правилото. А ако свържеш точки по окръжност всяка с всяка, частите са 1, 2, 4, 8, 16 … и следващото изглежда, че е 32, но е 31.

Умният опит

Не опитвай само 1, 2, 3. Нулата и отрицателните числа казват много: машината „Абсолютна стойност“ връща същото число за всеки положителен вход и се издава едва при отрицателно число.

Ако знаеш вида на машината, понякога стига един опит. При „Умножи по ?, после прибави ?“ входът 100 дава например −293 — и веднага се чете: машината умножава по −3 и прибавя 7.

Колко точки определят правилото? Права линия се определя от две точки, парабола — от три. Две различни машини без абсолютна стойност (с най-много два квадрата) съвпадат най-много в 4 числа, затова 5 различни опита винаги ги различават.

Редът има значение, а рецептата — не винаги

„Прибави 3, после умножи по 2“ дава за 4 числото 14, а „Умножи по 2, после прибави 3“ — 11. Редът на машините има значение.

Но различни рецепти може да са една и съща машина: „Прибави 3, после умножи по 2“ и „Умножи по 2, после прибави 6“ дават еднакъв изход за всяко число, защото (x + 3) · 2 = 2x + 6.

Машината наобратно

Обратната машина търси входа по изхода. При „Умножи по 3, после извади 2“ изходът 19 идва само от 7. Но при „Повдигни на квадрат“ изходът 49 идва от 7 и от −7, а изходът 20 при първата машина не идва от никое цяло число. Не всяка машина може да се пусне наобратно.

Какво е опростено

• Входовете са цели числа от 0 до 20 (ниво 1) или от −100 до 100. „Една и съща машина“ означава еднакъв изход за всички тези входове — извън тях може и да се различават.
• Машините са пет: прибави, умножи, раздели, повдигни на квадрат, абсолютна стойност. Във веригата има най-много 4 машини.
• Дробите са точни (9/2 = 4,5). Над милион милиона машината спира: „Числото е твърде голямо за машината“.