Дъската на Галтон

Едно топче

Топчето минава през n реда колчета. На всяко колче то отскача надясно или наляво. Кутийките под дъската са номерирани от 0 (най-лявата) до n. Номерът на кутийката, в която пада топчето, е точно броят на отскоците надясно. Затова при n реда има n + 1 кутийки.

Защо камбана? Преброй пътищата

До най-лявата кутийка води само един път: наляво на всяко колче. До средата водят много пътища. На честна дъска (50 на 50) всички пътища са еднакво вероятни, затова

шанс за кутийката = пътищата към нея : всички пътища

Всеки ред удвоява пътищата: при n реда те са 2ⁿ. Пътищата към всяка кутийка образуват триъгълника на Паскал – всяко число е сборът на двете над него:

При 10 реда до средната кутийка водят 252 от 1024 пътя (около 25 % от топчетата), а до всеки край – по един (около 1 топче на 1000). Отскокът е 50 на 50, но кутийките не са еднакво вероятни.

Наклон, редове, топчета

• Наклонът (шансът за отскок надясно) мести върха. При 30 % надясно и 10 реда най-пълна е кутийка 3. При силен наклон камбаната е несиметрична: при 5 реда и 80 % надясно опашката е дълга наляво.
• Повече редове правят камбаната по-широка и по-ниска, но ширината расте като корен: от 8 на 16 реда тя става около 1,4 пъти по-широка, не 2 пъти.
• Повече топчета не правят камбаната по-широка – само по-гладка. Ширината зависи от редовете и наклона.
• Броят и частта. Ако шансът е 1 от 1024, от 1024 топчета средно едно пада там – но точно едно се случва само в около 37 % от опитите. Колкото повече топчета, толкова по-близо е частта до шанса, а броят се разминава с очакваното все повече.

Топчетата нямат памет

Пет топчета подред паднаха наляво. Следващото пада надясно със същия шанс като винаги – то не знае какво е станало преди. Това се проверява честно само с много топчета: при 100 000 топчета броячът „след 5 вляво“ показва около половината вдясно. Вярата „сега е ред на другото“ се нарича грешка на комарджията. През 1913 година в едно казино черното се паднало 26 пъти подред и залагалите срещу него загубили много – защото рулетката също няма памет.

Под капака (15–16 години)

Ако шансът за отскок надясно е p, шансът топчето да падне в кутийка k е

P(k) = C(n, k) · p^k · (1 − p)^{n − k}

Средно топчетата са в кутийка n · p, а разсейването е √(n · p · (1 − p)). При много редове камбаната се доближава до „камбаната на Гаус“ (теоремата на дьо Моавр – Лаплас).

Какво опростява моделът

Колчетата са идеални: всеки отскок е независим и с един и същ шанс. Истинските топчета имат инерция и се блъскат, затова истинските дъски дават камбана, близка до, но не точно като сметката. Наклонът е метафора за шанса, без физика. Опитът е класически – Франсис Галтон го показва през 1874 година