Пи с дартс

Идеята: част от стрелите = част от лицето

Мишената е квадрат 2 m на 2 m – лицето му е 4 m². В него е вписан кръг с радиус 1 m – лицето му е π m². Ако стрелите падат равномерно по целия квадрат, всяко парче от мишената хваща толкова стрели, колкото е голямо. Затова

част на стрелите в кръга ≈ лице на кръга : лице на квадрата = π : 4 ≈ 0,785

Значи около 78–79 % от стрелите падат в кръга. Обърнато: оценка на пи = 4 · част. Ако от 1000 стрели 783 са в кръга, оценката е 4 · 0,783 = 3,132. Внимание: частта е около 0,785, а не 3,14 – без множителя 4 се получава грешен отговор.

Оценката е случайна

• Два класа с по 1000 стрели почти никога не получават едно и също число. Пи е едно, но оценките се разпръскват около него – обикновено с около 0,05.
• Всяко попадение качва оценката, всеки пропуск я сваля. Затова графиката е назъбена и нова стрела понякога отдалечава оценката от пи.
• При N стрели оценката може да е само кратно на 4 : N. При 1000 стрели 3,1416 е невъзможно число. А 355 попадения от 452 стрели дават 3,1415929 – седем верни цифри, но това е късмет, не точност: следващата стрела вече го разваля.

Точността расте бавно

Типичната грешка при различен брой стрели:

100 пъти повече стрели дават 10 пъти по-малка грешка. Всяка нова вярна цифра на пи струва около 100 пъти повече стрели. За грешка до 0,01 с шанс 9 от 10 трябват около 73 000 стрели – много повече, отколкото изглежда на пръв поглед.

Кога повече стрели не помагат

Ако хвърлячът цели центъра, стрелите се трупат към средата и в кръга попадат около 97 % от тях. Оценката отива към 3,90 – и милион стрели не я връщат към пи. Повече данни намаляват само случайната грешка, не и грешката на самия метод. Затова учените първо калибрират: пробват метода на фигура с известен отговор. Триъгълникът в мишената има лице 2 m² – ако методът дава около 2, можем да му вярваме и за кръга.

Равна мрежа от точки е друг път: 10 000 точки (100 на 100) дават 3,144 – по-точно от почти всички опити с 10 000 случайни стрели.

Под капака (15–16 години)

Ако частта на стрелите в кръга е q = π/4, типичната грешка на оценката при N стрели е

σ = 4 · √(q · (1 − q) : N) ≈ 1,64 : √N

Коренът идва от това, че случайните отклонения на отделните стрели отчасти се унищожават. Методът с много случайни опити се нарича „Монте Карло“ – името е дадено през 1940-те години на град, известен със случайността, защото методът разчита изцяло на нея.

Какво опростява моделът

Стрелата е точка, а хвърлячът е идеален: всяко място в квадрата е еднакво вероятно и никоя стрела не излиза извън мишената. Случайните числа идват от генератор със зърно, затова един и същ опит може да се повтори точно. Хвърлячът, който цели центъра, е модел на пристрастен метод, не измерване на истински хора. Опитът е класически пример за пресмятане със случайни числа.