Една градина, различна ограда

Лице и ограда

Градината е от квадратчета 1 m на 1 m. Лицето е колко квадратчета има: всяко е 1 квадратен метър (1 m²). Оградата (обиколката) е колко метра мрежа трябват наоколо: по една страна от 1 m за всяка граница между градината и празното място.

Квадратът 6 на 6 има 36 m² и иска 24 m ограда. Дългата тясна градина от същите 36 квадратчета може да иска 74 m. Еднакво лице — различна ограда.

Брой страните, не квадратчетата

По края на квадрата 6 на 6 има 20 квадратчета, но оградата е 24 m: ъгловите квадратчета дават по две страни ограда.

Всяко ново квадратче носи 4 страни, а всеки негов съсед „изяжда“ 2 m — по една страна от двете квадратчета. Затова новото квадратче мени оградата с +2 m (1 съсед), 0 (2 съседа), −2 m (3 съседа) или −4 m (4 съседа). И затова оградата на градина от квадратчета е винаги четно число метри.

Изненада. Изкопай ъгловото квадратче на квадрата 6 на 6: градината става 35 m², а оградата остава 24 m. Изкопай квадратче от средата: остава поляна и оградата дори расте — 28 m.

Най-малко и най-много ограда

Колкото по-близо до квадрат е градината, толкова по-малко ограда иска. С 36 квадратчета правоъгълниците искат 24 m (6 на 6), 26 m (4 на 9), 30 m (3 на 12) и 40 m (2 на 18).

Най-много ограда иска градина „на клонки“, в която всяко квадратче има колкото може по-малко съседи: змия или гребен. На мрежата 36 квадратчета не могат да имат повече от 74 m ограда.

Обратното също: с една и съща ограда от 24 m можеш да оградиш 36 m² (6 на 6) или само 11 m² (1 на 11). По-дълга ограда не значи по-голяма градина.

По-тясна от едно квадратче

В режим „Правоъгълник“ ширината може да е и дробна. Градина от 36 m², широка 0,1 m, е дълга 360 m и иска 720,2 m ограда — за земя колкото една стая. Тук оградата няма таван: колкото по-тясна е ивицата, толкова повече мрежа трябва.

Как се проверява твърдение

„Еднакво лице значи еднаква ограда“ звучи правдоподобно. Но един контрапример стига, за да го опровергае: 6 на 6 и 4 на 9 имат по 36 m², а оградите им са 24 m и 26 m. Сто примера „за“ не доказват твърдение; един пример „против“ го събаря.

Какво е опростено

• Градината е от цели квадратчета на поле 20 на 20 метра; истинските градини имат криви краища.
• Квадратчетата се свързват по страна; допрени само по ъгъл не са едно парче.
• Оградата е линия без дебелина и без врата; огражда и поляните в градината.
• За учителя: при дадена ограда най-много земя огражда кръгът (с 24 m — около 45,8 m²), но на мрежата от квадратчета победител е квадратът. Упражнението е класическо и се среща в много учебни материали.

Опит в двора. Оградете 36 квадратни метра с въже по различни начини — само на равно място, без колове с остри върхове и без копаене с инструменти без възрастен.