Извадките

Една извадка е случайна

Роботът претегля няколко случайни ябълки – това е извадка, а броят им е размерът на извадката. Средната маса на извадката е сборът на масите, разделен на броя ябълки. Две извадки с еднакъв размер почти винаги дават различни средни: при 10 ябълки например 176 g и 189 g. Истинската средна маса на градината с един сорт е 180 g.

Средните са по-тясно разпръснати от ябълките

В една извадка малките и големите ябълки отчасти се уравновесяват. Затова хистограмата на средните е много по-тясна от хистограмата на самите ябълки: ябълките се разпръскват с около 37 g, а средните на 25 ябълки – само с около 7,4 g. И хистограмата на средните прилича на камбана дори когато ябълките са от два сорта и тяхната хистограма има две гърбици.

В градината с два сорта само 1,2 % от ябълките тежат между 190 g и 210 g. „Средната ябълка“ почти не съществува – но средната маса пак е 200 g и се оценява отлично.

Точността расте бавно

Разсейване на средните в градината с един сорт при различен размер на извадката:

За два пъти по-тясна хистограма трябват четири пъти повече ябълки. За средна в рамките на 10 g в 95 от 100 опита стигат 52 ябълки от градината с един сорт; за 5 g трябват 212, а за 20 g – само 13. Градината с два сорта иска 146 ябълки, защото ябълките в нея са по-разпръснати.

Кога повече ябълки не помагат

• Повече извадки правят хистограмата на средните по-гладка, но не по-тясна. Тясна я прави само по-голямата извадка.
• По-голяма градина не иска по-голяма извадка: при 50 000 ябълки от същия вид стигат същите 52.
• Ако роботът хваща най-видимите, по-едрите ябълки, средните се трупат около 219 g вместо около 200 g. С 400 ябълки хистограмата е тясна, но на грешното място: пристрастният избор не се поправя с количество.

Под капака (16–18 години)

Ако ябълките в градината се разпръскват със стандартно отклонение σ, средните на извадки от n ябълки се разпръскват с

разсейване на средните = σ : √n

Коренът идва от това, че при сбор на независими ябълки се събират квадратите на разсейването (дисперсиите), а не самото разсейване. Камбаната не зависи от формата на хистограмата на ябълките – това е централната гранична теорема. Правилото „над 30 ябълки стига“ не е закон: при два сорта и 3 ябълки средните още имат гърбици.

Какво опростява моделът

Роботът претегля ябълката на клона, без да я къса, затова една ябълка може да попадне в извадката два пъти. Ако ги късаше, разсейването би било малко по-малко – при 400 от 5000 ябълки с около 4 %. Кантарът закръгля масите до 10 g, а градините са измислени, с правдоподобни маси. „Най-видимите“ ябълки са модел на пристрастен избор, не измерване на човешкото внимание. Опитът е класически пример от статистиката.