Свободна лаборатория · Математика · 12–16 години
Графиката на пълненето
Кранът пуска едно и също количество вода всяка секунда. Как расте височината на водата във времето? Нарисувай прогнозата си, после пусни водата и провери.
Тясно – стръмно, широко – полегато
Всяка секунда в съда влизат например 20 mL. Колко ще се вдигне нивото от тях, зависи от ширината на съда на това място. В широко място водата се разлива по голяма площ и нивото се вдига малко. В тясно място същите 20 mL вдигат нивото много.
Затова наклонът на графиката „височина – време“ е скоростта, с която се качва водата – колко сантиметра за една секунда. Стръмна графика – водата се качва бързо, съдът е тесен. Полегата графика – водата се качва бавно, съдът е широк.
Шестте съда
Всички са високи 20 cm. Кранът пуска 20 mL за секунда.
| Съд | Графиката | Средата на височината идва след | Пълен след |
|---|---|---|---|
| Цилиндър | права | 50 % от времето | 78,5 s |
| Конична колба | извива се нагоре | 73 % от времето | 54,5 s |
| Чаша, която се разширява нагоре | изравнява се | 27 % от времето | 54,5 s |
| Ваза с талия | като легнало S | 50 % от времето | 40,8 s |
| Съд на две стъпала | две прави с чупка | 80 % от времето | 70,7 s |
| Кръгла колба | стръмно, полегато, накрая почти отвесно | 91 % от времето | 47,6 s |
Графиката не е картина на съда
Вазата с талия е тясна в средата, но графиката ѝ не е тясна в средата. Тя е като легнало S: полегата долу, най-стръмна в талията (водата там се качва 6 пъти по-бързо, отколкото на дъното) и пак полегата горе.
Кръглата колба се пълни бавно около 44 секунди, а после тясното гърло се пълни само за около 3 секунди: графиката накрая е почти отвесна. В гърлото водата не „спира, защото е тясно“ – тя лети нагоре.
Половината височина не е половината време
Само в съд, който е еднакво широк навсякъде, водата стига средата на половината време. В коничната колба долната половина е широка и побира почти три четвърти от водата. Затова при половината време водата е едва на около 5,9 cm, а средата идва чак на 73 % от времето.
Какво мени кранът и какво – не
- Два пъти по-силен кран – съдът се пълни за половината време, а графиката е същата, само свита два пъти по времето. Формата на графиката зависи само от съда.
- Времето за пълнене е обемът, разделен на дебита. Чашата, която се разширява нагоре, и коничната колба са огледални и побират еднакво вода. Графиките им са съвсем различни, но двете се пълнят за едни и същи 54,5 секунди.
Под капака
За тънък слой вода обемът е площта на повърхността по дебелината на слоя. Затова
скорост на качване = Q : (π · r²)
Тук Q е колко милилитра влизат за секунда, а r е радиусът на съда на нивото на водата. В съд на две стъпала горе радиусът е два пъти по-малък, площта – четири пъти по-малка, и водата се качва четири пъти по-бързо.
Какво опростява моделът
Дебитът е постоянен, водната повърхност е равна (без вълни), стените нямат дебелина, а съдовете са идеални форми, избрани за ясни графики. Изпарението и пръските за една минута са пренебрежими. Оценката на рисунката („Отлично“, „Близо“, „Още не“) е правило на играта.
Опит у дома
Вместо кран наливай равни порции с мерителна чаша (например по 50 mL) и след всяка порция мери височината с линийка. Броят на порциите е „времето“ – графиката е същата. Опитай с бутилка, която се стеснява нагоре.
- Ползвай пластмасови съдове, не стъклени – стъклото може да се счупи.
- Ползвай вода със стайна температура, не гореща.
- Дръж разлятата вода далеч от контакти, зарядни и уреди и изтрий пода веднага, за да не се подхлъзне никой.
- Ако режеш пластмасова бутилка, нека възрастен направи разреза.