Свободна лаборатория · вероятност
Трите врати
Пазачът на съкровището отвори празна врата. Да смениш ли своята? Прочети, после провери сам с хиляди игри.
Правилата
- Зад една от трите врати е сандък със съкровище, зад другите две – празни стаи.
- Избираш врата. Тя остава затворена.
- Пазачът знае къде е съкровището. Той отваря една от другите врати – винаги празна – и винаги ти предлага да смениш.
- Оставаш на своята врата или сменяш на другата затворена.
Таблицата на 9-те случая
Съкровището може да е зад всяка от трите врати, а ти можеш да избереш всяка от трите. Това са 9 равновъзможни случая:
| Съкровище \ избор | избор 1 | избор 2 | избор 3 |
|---|---|---|---|
| съкровище 1 | остани | смени | смени |
| съкровище 2 | смени | остани | смени |
| съкровище 3 | смени | смени | остани |
Оставането печели само по диагонала – когато първият избор е бил верен: в 3 от 9 случая = 1/3. Във всички други 6 от 9 пазачът е принуден да отвори единствената празна врата, и смяната печели: 2/3.
остани: 1/3 · смени: 2/3
Защо не 50 на 50?
Останаха две затворени врати, но те не са равностойни. Твоята е избрана преди пазача и той не може да я отвори. Другата е „оцеляла“ след избора на пазача, който знае къде е съкровището и никога не го отваря. Отварянето на празна врата не променя шанса на първия ти избор – той остава 1/3.
Пробвай със 100 врати: избираш една, пазачът отваря 98 празни. Съкровището зад твоята врата ли е, или зад единствената, която пазачът внимателно заобиколи? Смяната печели в 99 от 100 игри.
Отговорът зависи от правилото на пазача
- Разсеяният пазач не знае къде е съкровището и отваря наслуки. Понякога отваря съкровището – тази игра не се брои. В останалите двете врати са наистина 1/2 и 1/2. Картината е същата, но правилото е друго.
- Хитрият пазач предлага смяна само когато първата ти врата е вярната – тогава смяната губи винаги. Добрият пазач я предлага само когато първата ти врата е празна – тогава печели винаги.
- Мързеливият пазач отваря близката врата, когато може. Ако стане и отиде до далечната, сам издава къде е съкровището.
Изводът не е „никому не вярвай“, а „питай какво е правилото“.
Много врати (16–18 години)
При n врати знаещият пазач отваря k празни. Остават m = n − 1 − k затворени врати освен твоята. Съкровището е сред тях с шанс (n − 1)/n, и смяната на случайна от тях го уцелва с шанс 1/m:
P(смени) = (n − 1) / (n · m)
Смяната никога не е по-лоша от оставането (1/n), но предимството може да е малко: при 10 врати и една отворена то е 9/80 срещу 8/80.
Знаеш ли, че…
- Когато отговорът „сменяй“ бил публикуван във вестник през 1990 година, редакцията получила хиляди писма с възражения – и от хора с научна степен. Един известен математик се убедил чак след компютърна симулация – точно като теб тук.
- Гълъби, които играят същата игра много пъти, бързо се научават винаги да сменят – за разлика от повечето хора. В едно изследване само 13 % от участниците сменили.