Положителният тест

Хиляда души в решетка

Заболяването „Z“ е измислено. Нека то е при 1 на 100 души, а тестът открива 99 % от болните (чувствителност) и оставя отрицателни 99 % от здравите (специфичност). От 1000 души:

• 10 са болни и тестът открива почти всички: 10 вярно положителни.
• 990 са здрави, но 1 % от тях получават положителен резултат: 10 фалшиво положителни.
• Положителните са 20, от тях болни са 10 – точно половината.

Хората разсъждават много по-добре с „10 от 1000“, отколкото с „1 %“. Затова симулацията показва решетка от хора. Решетката показва очакваните броеве и закръгля до цели хора; под нея винаги стои точната стойност.

Пълна вероятност

Хората са болни или здрави: две хипотези, които не се застъпват и заедно покриват всички. Такива хипотези образуват пълна група. Положителен резултат може да получат и болните, и здравите, затова вероятностите се събират:

P(положителен) = p · чувствителността + (1 − p) · (1 − специфичността), където p е априорната вероятност – колко често се среща заболяването още преди теста.

Формулата на Бейс

Питаме обратното: ако резултатът е положителен, колко е вероятно човекът да е болен? Това е апостериорната вероятност – делът на вярно положителните сред всички положителни:

P(болен, ако е положителен) = p · чувствителността : P(положителен)

• „Положителен, ако е болен“ и „болен, ако е положителен“ са различни числа. Първото е чувствителността, второто зависи още и от p.
• При 1 на 1000 и същия тест само 1 от около 11 положителни е болен: за всеки болен има десет здрави с фалшиво положителен резултат.
• Когато болестта е рядка, специфичността е по-важна от чувствителността: тя определя колко от многото здрави грешат.
• Ако тестът дава положителен резултат еднакво често на болни и здрави (чувствителност = 1 − специфичност), той не носи информация: апостериорната вероятност е равна на априорната.

Втори тест

След първия положителен резултат апостериорната вероятност става априорна за втория тест. Така 50 % се превръща в 99 %. Това е причината лекарите да повтарят изследванията. Допускаме, че двата резултата са независими при дадено състояние: ако една и съща причина подвежда теста всеки път, повторението помага по-малко.

Три машини

Три машини правят детайли: 50 %, 30 % и 20 % от производството, с брак 1 %, 2 % и 5 %. Общият брак е претеглена сума, не обикновено средно: 0,5 · 1 % + 0,3 · 2 % + 0,2 · 5 % = 2,1 %. Ако детайлът е с брак, вероятността да е от машина 3 е 0,2 · 5 % : 2,1 % ≈ 47,6 %.

Най-малката машина дава почти половината брак, защото е с най-голям брак. Формулата работи само при пълна група: дяловете трябва да дават точно 100 %. При 110 % някои детайли се броят два пъти.

Независими събития

Събитията A и B са независими, когато вероятността за двете заедно е равна на произведението на вероятностите им:

P(A и B) = P(A) · P(B)

• Това е същото като P(A, ако е известно, че B) = P(A): знанието за B не променя шанса за A.
• Първият зар да е четен и сумата да е 7 са независими (1/12 = 1/2 · 1/6), а първият да е четен и сумата да е 8 – не (1/12 ≠ 1/2 · 5/36).
• Несъвместими не значи независими: ако две възможни събития не могат да се случат заедно, вероятността им заедно е 0, а произведението е положително. Те са зависими.
• При истински данни равенството рядко е точно. Симулацията проверява точно равенство.

Провери, не повтаряй

„Тестът е точен на 99 %, значи положителният резултат е болест“, „общият брак е средното на брака“, „несъвместимите събития са независими“ – все твърдения, които звучат убедително и са грешни. Във всяка задача Знайко ти казва нещо; ти го проверяваш със симулацията, преди да решиш дали е вярно. Това е математически модел, а не медицински съвет.