Най-доброто решение

Започваме с модел и интервал

Задачата „най-голямо“ или „най-малко“ започва с модел: една променлива x, функция на x и интервал от допустимите стойности, който идва от условието. Оградата не може да е по-дълга от брега, а изрязаният ъгъл на листа не може да е по-голям от половината страна.

Ограда до реката: S(x) = x(L − 2x), x от max(0; (L − B)/2) до L/2

Влаченето на x е откритие, не доказателство. Доказателството идва от сметката: слоят „Защо?“ в симулацията го показва.

Върхът не е винаги отговорът

Лицето S(x) = −2x² + Lx е квадратна функция. Най-голямата ѝ стойност е във върха x = L/4, само ако върхът е в интервала. Ако не е, най-голямата стойност е в края на интервала.

• С мрежа 40 m и бряг 30 m интервалът е [5; 20], върхът е 10 и най-голямото лице е 200 m².
• С бряг 16 m интервалът е [12; 20]. Върхът 10 не е позволен и най-голямото лице е 192 m² в левия край. Проверката на краищата е част от решението, не украса.

Затова таблицата на кандидатите в симулацията има краищата (квадратчета), върха или стационарната точка (кръгчета) и върха извън интервала (празно кръгче).

Квадратът и средните

От правоъгълниците с даден периметър най-голямо лице има квадратът. Това е неравенството между средно аритметично и средно геометрично:

(a + b)/2 ≥ √(ab), равенство само при a = b

Доказателство: (√a − √b)² ≥ 0. Всички четири средни на две положителни числа се подреждат така: средно хармонично ≤ средно геометрично ≤ средно аритметично ≤ средно квадратично.

• При дадено лице квадратът има най-малък периметър. Най-голям периметър няма: колкото по-тесен е правоъгълникът, толкова периметърът расте.
• До реката квадратът губи. Мрежа 40 m дава най-много 200 m² при 10 × 20, а квадратът 13,3 × 13,3 има само около 178 m². Без реката същата мрежа дава най-много 100 m².

Производната и допирателната (профилирана подготовка)

Допирателната към графиката има наклон f′(x). Във вътрешна точка на екстремум на гладка функция тя е хоризонтална: f′(x) = 0. Точка с нулева производна се нарича стационарна точка.

Обратното не е вярно. Функцията (x − 1)³ има хоризонтална допирателна при x = 1, но расте и преди, и след точката: екстремум няма. Затова кандидатите са стационарните точки и краищата, а отговорът е най-голямата (най-малката) от стойностите в тях.

При x³ − 3x в интервала [−2; 3] локалният максимум е 2 при x = −1, но в десния край стойността е 18.

Кутията и тялото в сфера

От лист a на b се изрязват квадрати със страна x: V(x) = x(a − 2x)(b − 2x). Производната има два корена, но само по-малкият е в листа; другият дава кутия без дъно и не е решение.

• Плосък връх. При лист 30 × 30 най-големият обем е 2000 cm³ при x = 5. При x = 4 и 6 обемът е вече 97 % от най-големия: на око се стига бързо до „почти“, а последните 3 % искат сметка.
• Четвъртина не е най-доброто. Изрязване на четвърт от страната дава само 84 % от най-големия обем.
• Цилиндър в сфера. Най-големият обем е при височина 2R/√3, не при височина, равна на радиуса. Конусът е най-голям при 4R/3. И при двете тела височината е √2 пъти радиуса на основата.

Знаеш ли, че…

Ако правиш кутия наистина, режи с ножица, не с макетен нож без възрастен. Знакът на втората производна казва дали стационарната точка е максимум или минимум.