Вписана и описана окръжност

Описана окръжност

Окръжността, която минава през трите върха на триъгълника, е описаната окръжност. Центърът ѝ O е на равни разстояния от върховете, затова е на симетралите на трите страни – там, където те се пресичат.

Около всеки триъгълник има точно една описана окръжност: OA = OB = OC.

• При остроъгълен триъгълник центърът е вътре.
• При правоъгълен – точно в средата на хипотенузата (медианата към хипотенузата е половината от нея).
• При тъпоъгълен – вън от триъгълника, отвъд най-дългата страна.

Центърът не е винаги вътре. В тъпоъгълно село кладенецът на равни разстояния от трите къщи е извън ливадата между тях.

Вписана окръжност

Окръжността, която допира трите страни, е вписаната окръжност. Центърът ѝ I е на равни разстояния от страните, затова е на ъглополовящите на трите ъгъла. Той е винаги вътре в триъгълника.

Допирателните отсечки от един връх до вписаната окръжност са равни. Затова отсечката от A е половината от обиколката минус BC.

Не в средите. Вписаната окръжност допира страните в средите им само при равностранния триъгълник. И не я строим със симетралите – те дават другия център.

Външновписани окръжности

Има още три окръжности, които допират и трите прави на страните: всяка допира една страна и продълженията на другите две. Центърът на тази срещу A е пресечната точка на ъглополовящата при A и на външните ъглополовящи при B и C.

Четириъгълник: вписан и описан

Вписан четириъгълник – върховете му са на окръжност (около него е описана окръжност). Описан четириъгълник – в него има вписана окръжност, която допира четирите страни.

Изпъкнал четириъгълник е вписан точно когато ∠A + ∠C = 180°, и е описан точно когато AB + CD = BC + DA.

• Квадратът е и вписан, и описан.
• Правоъгълникът и равнобедреният трапец са вписани, но не са описани.
• Ромбът и делтоидът са описани, но не са вписани (освен при прави ъгли).
• Успоредникът без прав ъгъл и с различни страни не е нито едното.

Двете условия не се разменят. „Сбор на срещуположните ъгли 180°“ е за окръжността през върховете, а „равни сборове на срещуположните страни“ – за окръжността вътре.

Защо е така?

Измерването подсказва, доказателството убеждава.

1. O е на симетралата на AB, затова OA = OB; на симетралата на BC – затова OB = OC. Значи OA = OC и O е и на третата симетрала.
2. Ъглите при A и C на вписан четириъгълник са вписани ъгли над двете дъги BD. Дъгите са 360° заедно, а всеки ъгъл е половината от своята дъга – общо 180°.
3. В описан четириъгълник всяка страна е сбор от две допирателни отсечки. Отсечките от един връх са равни, затова AB + CD и BC + DA събират едни и същи четири отсечки.