Таблицата на шанса

Класическа вероятност

Когато всички изходи на един опит са равновъзможни, вероятността на събитие A е отношението на благоприятните към всички изходи:

P(A) = брой на благоприятните изходи : брой на всички равновъзможни изходи

Условието „равновъзможни“ е важно. При две монети изходите „0, 1 или 2 ези“ не са равновъзможни: „едно ези“ е в две клетки на таблицата 2 × 2 (ези-тура и тура-ези), а „две ези“ – в една. Затова „поне едно ези“ е 3 от 4 клетки, тоест 3/4, а не 2/3.

Събитие без нито една благоприятна клетка е невъзможно (вероятност 0), а събитие, в което влизат всички клетки, е достоверно (вероятност 1).

Събитията са множества от клетки

Два зара имат 6 · 6 = 36 равновъзможни изхода: таблицата е произведението на множествата от числата 1 до 6 за първия и за втория зар. Всяко събитие е множество от клетки.

Сума 7 е в 6 клетки (оцветени): P = 6/36 = 1/6. Чифтът също е в 6 клетки – по главния диагонал.

Сечение, обединение, допълнение

• Сечение A ∩ B – клетките, които са и в A, и в B (и двете събития едновременно).
• Обединение A ∪ B – клетките, които са поне в едно от двете събития.
• Допълнение на A – всички клетки извън A: събитието „не A“.

Две събития са несъвместими, ако нямат общи клетки (A ∩ B е празно), и съвместими, ако имат. Сума 7 и чифт са несъвместими: 6/36 + 6/36 = 12/36 = 1/3.

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Сума поне 10 и чифт са съвместими: общите клетки са (5, 5) и (6, 6). Затова обединението е 6 + 6 − 2 = 10 клетки от 36, тоест 5/18 – а не 12 от 36. Ако просто съберем, броим общите клетки два пъти.

Допълнението често е по-лесно: „поне една шестица“ при два зара е 1 − P(нито една шестица) = 1 − 25/36 = 11/36.

Когато таблицата е твърде голяма: броим с формули

Две карти от тесте с 52 карти дават 1326 двойки – няма как да ги нарисуваме. Броим с:

• пермутации: P(n) = n!
• вариации без повторение: V(n, k) = n! / (n − k)! – редът е важен;
• комбинации без повторение: C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!) – редът не е важен.

Две карти се теглят едновременно, редът няма значение. Двойките аса са C(4, 2) = 6, а всички двойки са C(52, 2) = 1326. Шансът е 6/1326 = 1/221 – не (1/13) · (1/13) = 1/169, защото след първото асо в тестето остават 3 аса от 51 карти.

Опитите са само проверка

Ако направиш много опити, частта на успешните се приближава до вероятността. Но броят им почти никога не е точно N · P: при 600 хвърляния на зар шестиците рядко са точно 100. Серия от пет неуспеха не променя следващия опит – таблицата е същата.

Знаеш ли, че… в клас от 23 ученици е малко по-вероятно да има двама с общ рожден ден, отколкото да няма (≈ 0,507). Двойките ученици са 253, а не 23.

Четири често срещани грешки

1. „P(A или B) = P(A) + P(B)“ – вярно само за несъвместими събития.
2. Изброяване на изходи, които не са равновъзможни, и делене на равни дялове.
3. При теглене без връщане – умножаване, сякаш съставът не се променя.
4. Размяна на сечение и обединение: сечението са само общите клетки.

Вероятност, не хазарт

Урната и картите са математически обекти. При хазартните игри шансът винаги е подреден в полза на организатора – затова не залагаме пари.