Кодовата ключалка

Правилото за умножение

Всяко колелце е отделен избор. Ако първото колелце има 10 цифри и за всяка от тях второто също има 10, кодовете от 2 колелца са 10 · 10 = 100, а не 10 + 10 = 20.

Ако правиш няколко избора един след друг, броят на възможностите е произведението на броя на изборите: 4 колелца по 10 цифри дават 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000 кода.

Затова още едно колелце дава 10 пъти повече кодове, а не 10 повече: 1000 → 10 000. Кодовете започват от 0000 и свършват с 9999 – той е 10 000-ният.

Граф-дървото показва това: от корена излизат 10 клона (първата цифра), от всеки от тях – по 10 (втората). Листата са 10 · 10 = 100.

Правилото за събиране

Ако избираш или от една група, или от друга (без общи елементи), броят на възможностите е сборът им.

Код от 3 или от 4 цифри: 1000 + 10 000 = 11 000 кода. „И“ (един избор след друг) – умножаваш; „или“ (едната от две групи) – събираш.

Без повторение

Ако цифрите на кода трябва да са различни, за първата има 10 избора, за втората – само 9, за третата – 8. Това са вариации без повторение от 10 елемента 4-ти клас:

V₁₀⁴ = 10 · 9 · 8 · 7 = 5040

Забраната на повторенията намалява броя на кодовете (10 000 → 5040): изчезват всички кодове с повтаряща се цифра. Кодът не става „по-сложен“ за крадеца.

Ако подреждаш всички n елемента, това са пермутации без повторение: 5 цвята в 5 позиции се подреждат по

P₅ = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 начина.

Произведението 1 · 2 · … · n понякога се записва кратко n! („n факториел“).

Когато редът няма значение

При бутонната ключалка натискаш 5 от 10 бутона и натиснатият остава долу. 1-3-5-7-9 и 9-7-5-3-1 отварят еднакво – това е един и същ код. Броим групи, а не подредби. Това са комбинации без повторение от 10 елемента 5-ти клас:

C₁₀⁵ = (10 · 9 · 8 · 7 · 6) : (1 · 2 · 3 · 4 · 5) = 252

Всяка група от 5 бутона се подрежда по 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120 начина, затова кодовете са 120 пъти по-малко от 30 240-те кода с 5 различни цифри на колелца.

Как да познаеш модела? Питай: ако разменя два елемента, получавам ли нещо различно? ПИН 1-2 и 2-1 са различни кодове – редът има значение. Отборът „Ани и Бобо“ е същият като „Бобо и Ани“ – няма значение.

Изненадата: изтритите бутони

По износените клавиши крадецът вижда кои цифри съставят четирицифрения код. Кога има по-малко кодове за опитване – при 3 или при 4 изтрити бутона?

• 4 бутона: всички цифри са различни – 1 · 2 · 3 · 4 = 24 кода;
• 3 бутона: една цифра се повтаря – коя (3 начина) · местата на двете еднакви (6) · редът на другите две (2) = 36 кода;
• 2 бутона: всички кодове от двете цифри (2 · 2 · 2 · 2 = 16) без 2-та „еднакви“ = 14.

Три изтрити бутона са по-добре за собственика от четири!

Време и шанс на крадеца

Крадецът опитва кодовете един по един, без да повтаря, по t секунди на опит. В най-лошия случай верният код е последният: времето е N · t. 4 цифри при 1 s на опит – 10 000 s, около 2,8 часа.

За време τ той успява да опита A различни кода. Шансът му е отношението „опитани кодове : всички кодове“: при 10 минути и 2 s на опит – 300 : 10 000 = 3/100.

Ако ключалката блокира след 5 грешни опита за 30 s, четирицифреният код издържа вече около 19,4 часа вместо 2,8.

Какво опростяваме

• Крадецът е систематичен и не повтаря кодове; всеки опит трае еднакво.
• Кодът е избран наслуки. Истинските хора избират предвидимо: в голям анализ на четирицифрени кодове „1234“ е бил почти всеки девети. Затова наслуки избраният код е по-сигурен от „запомнящия се“.
• Ключалката е идеална: колелцата нямат хлабини, по които кодът се усеща.
• Една година е 365 денонощия.

Никога не казвай истинския си код – и не го въвеждай в симулацията. Там ти си собственикът, който прави ключалката по-здрава.