Еднакви ли са?

Еднакви триъгълници

Два триъгълника са еднакви, ако единият може да се положи точно върху другия. Тогава страните и ъглите им са съответно равни: съответните елементи лежат един върху друг. Записваме △ABC ≅ △MNP – буквите са в съответния ред: A към M, B към N, C към P.

Обърнат пак е еднакъв. Завъртян или обърнат като в огледало, триъгълникът остава еднакъв с първия. Съответните елементи се търсят по равенствата, а не по мястото на чертежа.

Признаци за еднаквост

Не е нужно да мерим всичките шест елемента. Стигат три – но не кои да е. Ако по три дадени пергелът и линийката дават само един триъгълник, всеки друг триъгълник със същите три дадени е еднакъв с него.

• ССС – три страни. Начертай AB, после дъга около A и дъга около B. Над AB те се срещат в една точка.
• СЪС – две страни и ъгълът между тях. Ъгълът при A насочва рамото, а дължината определя върха C.
• ЪСЪ – страна и двата ъгъла при нея. Двете рамена се срещат в една точка.
• ЪЪС – страна, ъгъл при нея и ъгъл срещу нея. Сборът на ъглите е 180°, значи третият ъгъл е известен – и пак имаме ЪСЪ.
• Хипотенуза и катет – при правоъгълни триъгълници: равни хипотенузи и по един равен катет.

Кога три дадени не стигат

Две страни и ъгъл срещу едната (ССЪ). Начертай ъгъла при A и страната b до него. Дъгата около C с радиус a може да пресече другото рамо на две места: два различни триъгълника с едни и същи три дадени. Затова това не е признак.

Три ъгъла (ЪЪЪ). Ъглите определят формата, но не и големината: има безброй триъгълници с ъгли 50°, 60° и 70° – като снимка и нейното уголемено копие.

Не всеки три отсечки стават триъгълник. Ако основата е твърде дълга, дъгите не се срещат. А ако двата ъгъла при основата са 180° общо, рамената са успоредни.

Какво следва от признаците

• В равнобедрения триъгълник ъглите при основата са равни.
• В правоъгълния триъгълник с ъгъл 30° катетът срещу този ъгъл е половината от хипотенузата.
• Медианата към хипотенузата е половината от хипотенузата.

Построяването в симулацията е откритие, не доказателство: видяхме един триъгълник при тези числа. Че така е винаги, казва признакът.

Мисия: платното

Буря е скъсала триъгълното платно на лодка. По радиото може да изпратиш само три числа. Ако изпратиш три страни, шивачът ще ушие същото платно. Ако изпратиш две страни и ъгъл срещу едната – може да ушие другото от двете възможни!