Заровете на Галилей

Два начина да оценим шанса

1. Опитно. Хвърляш много пъти и гледаш каква част от хвърлянията дават събитието. Например 171 седмици от 1000 хвърляния на два зара са частта 171/1000 = 0,171.
2. Чрез възможностите. Изброяваш всички равновъзможни изходи и броиш благоприятните:

шанс = брой на благоприятните възможности : брой на всички възможности

Един зар има 6 равновъзможни лица, затова шансът за шестица е 1 от 6 = 1/6 ≈ 0,167. Събитие без нито една благоприятна възможност е невъзможно (шанс 0), а събитие, в което влизат всички възможности, е сигурно (шанс 1).

Два зара: таблицата на всички възможности

Нека първият зар е червен, а вторият – син. Всяка клетка на таблицата е една възможност. Преброй ги: те са 36 и всички са равновъзможни.

Сума 7 е в 6 клетки (оцветени), а сума 12 – само в една (6 + 6). Затова шансът за 7 е 6/36 = 1/6, а за 12 е 1/36. Сумите не са еднакво вероятни:

На стълбовидната диаграма на сумите това е „пирамида“ с връх при 7.

Какво ще видиш в опита

• В началото частта скача силно. Колкото повече хвърляш, толкова по-близо обикновено е тя до шанса – но не го стига точно и не върви право към него.
• Броят обаче не става „точно колкото трябва“. От 600 хвърляния на зар шестиците са около 100, но точно 100 са рядко – в около 4 от 100 серии.
• Заровете нямат памет. След 5 пъти подред четно числото нечетното не е „на ред“: шансът при следващото хвърляне е пак 1/2.

Загадката на Галилей

Играчите на зарове от времето на Галилей забелязали, че при три зара 10 се пада малко по-често от 9, макар и двете да се получават „по 6 начина“: например 9 = 1 + 2 + 6 = 3 + 3 + 3 = … Тайната е в подреждането. Наборът {3, 3, 3} се получава само по един начин, а {1, 2, 6} – по 6 (1-2-6, 1-6-2, 2-1-6, …). Подредените изходи са 25 за 9 и 27 за 10 от всичките 216. Разликата е толкова малка, че се вижда едва след десетки хиляди хвърляния.

Залозите на кавалера дьо Мере

Във Франция през XVII век кавалерът дьо Мере питал Паскал защо губи. Така през 1654 година. започнали писмата на Паскал и Ферма за вероятностите.

• „Поне една шестица в 4 хвърляния на зар“ – шанс около 0,518: печели малко по-често.
• „Поне един чифт шестици в 24 хвърляния на два зара“ – около 0,491: губи малко по-често. Чак при 25 хвърляния шансът минава половината.

Знаеш ли, че… заровете в симулацията са „идеални“: всички лица са равновъзможни. За хвърлянията се използват псевдослучайни числа – еднакво „зърно“ дава едни и същи хвърляния, за да може отговорът ти да се провери.

Вероятност, не хазарт

Мисията с жетони е настолна игра: жетоните нямат стойност извън урока. Когато шансът е малък, залогът губи – не заради „лошия късмет“, а заради броя на възможностите.