Везната на уравненията

Уравнението е везна

В уравнението 3x + 5 = 2x + 9 знакът „=“ казва, че лявата и дясната страна имат една и съща стойност. На везната: в лявото блюдо има 3 кутийки x и 5 тежести, в дясното – 2 кутийки и 9 тежести, и везната е в равновесие.

Корен на уравнението е числото, което, сложено на мястото на x, прави двете страни равни. Тук коренът е 4: 3 · 4 + 5 = 17 и 2 · 4 + 9 = 17.

Знакът „=“ не значи „пиши отговора“. Записът 3 + 5 = 8 + 2 = 10 е грешен: 3 + 5 тежи 8, а 8 + 2 тежи 10 – везната би се наклонила.

Еквивалентни уравнения

Везната остава в равновесие, ако направиш едно и също действие с двете блюда: добавиш или махнеш едно и също число, махнеш по една кутийка x, умножиш или разделиш двете страни на едно и също число, различно от 0. Така получаваш еквивалентно уравнение – със същия корен.

1. 3x + 5 = 2x + 9 махни по едно x
2. 2x + 5 = x + 9 махни по едно x
3. x + 5 = 9 махни по 5 тежести
4. x = 4

Ако действаш само с едното блюдо, везната се накланя. Затова при „пренасяне“ на число от едната страна на другата то сменя знака си: от 3x + 5 = 11 следва 3x = 11 − 5, а не 11 + 5.

• По 0 не се умножава: всяко уравнение би станало 0 = 0.
• На израз с неизвестното (например на x) не се дели – може да изгубиш корен.
• Разкриването на скобите, 2(x − 3) = 2x − 6, не мести везната.

Един корен, няма корени, всяко число

• Един корен: 3x + 5 = 2x + 9 има корен 4.
• Няма корени: в 4x − 7 = 4x + 1 махни по 4 кутийки от всяко блюдо – остава −7 = 1, което никога не е вярно. При всяко число везната е наклонена еднакво.
• Всяко число е корен: 2(x + 1) = 2x + 2 – след разкриване на скобите двете страни са еднакви. Това е тъждество.

Две проби не са доказателство. Ако при две числа везната е наклонена, това е само пример. Доказва го преобразуванието до невярно числово равенство (−7 = 1).

Отрицателни числа и дроби

Истинска везна няма отрицателна тежест. В симулацията отрицателното число е балон: той дърпа нагоре толкова, колкото тежестта дърпа надолу. Балон и тежест заедно са „нищо“ – затова балон се маха, като добавиш тежест. Колоната с уравненията винаги показва и записа с числа – картинката е само помощ.

Коренът може да е дроб: 4x = 3 има корен 3/4 = 0,75.

Модулни уравнения

Модулът |A| е разстоянието от A до 0 на числовата ос. Затова |A| = 5 значи A = 5 или A = −5.

• |x| = 3 има два корена: 3 и −3.
• |2x − 1| = 5: 2x − 1 = 5 или 2x − 1 = −5, корени 3 и −2.
• |x − 2| = 0 има един корен, 2.
• |3x + 1| = −2 няма корени: модулът не може да е отрицателен.

Задачи с уравнения

Движение. Пешеходец има 16 km преднина и върви с 4 km/h; велосипедист го гони с 12 km/h. След t часа: 12t = 4t + 16, откъдето t = 2 h. Провери дали отговорът има смисъл: отрицателно време не става.

Работа. Кран А пълни басейн за 2 h, кран Б – за 4 h. Заедно за t часа: t/2 + t/4 = 1, тоест t = 4/3 h = 80 min.

Какво е условност в симулацията

Наклонът на везната е 2° за всяка единица разлика (най-много 25°), за да се вижда колко е неравенството. Истинската везна с равни рамена или е в равновесие, или се накланя докрай. Балоните също са само модел на отрицателните числа.