Степен и логаритъм в огледало

Огледалото на правата y = x

Графиката на y = a^x (показателната функция) и графиката на y = log_a x (логаритмичната функция) са симетрични спрямо правата y = x. Ако точката (p; q) е на първата крива, то (q; p) е на втората: координатите си разменят местата.

Пример при основа 2: точката (3; 8) е на 2^x, защото 2³ = 8. Затова (8; 3) е на логаритмичната крива: log₂ 8 = 3.

Основата a е положително число, различно от 1. При a = 1 всяка степен е 1 и логаритъм няма. При a > 1 двете криви растат, а при 0 < a < 1 — намаляват.

Логаритъмът е показател

log_a b е числото x, за което a^x = b. На графиката: пресечната точка на правата y = b с показателната крива има абсциса log_a b. Степента на положително число е винаги положителна, затова логаритъм има само на положителни числа.

Намиране на липсващ елемент: log₅ 125 = 3, защото 5³ = 125. Ако log_a 81 = 4, то a⁴ = 81 и a = 3.

Свойства на логаритмите

• log₂(8 · 4) = log₂ 8 + log₂ 4 = 3 + 2 = 5 — произведението става сбор.
• log₁₀(1000 / 10) = 3 − 1 = 2 — частното става разлика.
• log₃(9⁵) = 5 · log₃ 9 = 10 — степента излиза пред логаритъма.
• log₂ √8 = (1/2) · log₂ 8 = 1,5 — коренът е степен 1/2.

Но: log₂(8 + 4) не е log₂ 8 + log₂ 4. Първото е log₂ 12 ≈ 3,585, второто е 5. Логаритъмът на сбор не се разпада. И log₂ 8 · log₂ 4 = 6 не е log₂(8 · 4) = 5.

Степен с рационален показател

a^1/n е коренът n-ти от a, а a^m/n е (ⁿ√a)^m при a > 0.

• 8^1/3 = 2, не 8/3: 2 · 2 · 2 = 8.
• 16^3/4 = 2³ = 8.
• 27^−2/3 = 1 / 3² = 1/9.
• 2⁻¹ = 1/2, не −2: отрицателният показател е обратно число.

Уравнения и неравенства

Основно показателно уравнение: 2^x = 8 има решение x = 3. Ако дясната страна не е положителна (2^x = −4), правата не пресича кривата и решение няма. Основно логаритмично: log₂ x = 3 дава x = 2³ = 8.

Посоката се обръща при основа между 0 и 1. 2^x > 8 дава x > 3. Но (1/2)^x > 8 дава x < −3, защото кривата намалява. Проба: при x = −4 имаме 16 > 8 — вярно; при x = 0 имаме 1 > 8 — невярно.

Логаритъм има само при положителен аргумент. log_1/2 x > 1 дава x < 1/2, но и x > 0 е нужно: решението е (0; 1/2), а не всички числа под 1/2. При log₂ x < 3 решението е (0; 8).

Полагане. 4^x − 3 · 2^x + 2 = 0 с t = 2^x става t² − 3t + 2 = 0, откъдето t = 1 или 2 и x = 0 или 1. При 4^x − 2^x − 2 = 0 имаме t = 2 или −1, но 2^x = −1 няма решение: остава x = 1.

Изненади

• Три срещи. При основа 1/16 кривата и нейното огледало се срещат три пъти, два от тях извън правата y = x: (1/4; 1/2) и (1/2; 1/4). При 1/4 — само веднъж.
• Допир. При основа около 1,4447 кривата y = a^x само докосва правата y = x. Малко над това двете криви никога не се срещат; при основа 2 те са далеч една от друга.
• 11 филтъра. Всеки пропуска 0,8 от светлината. След 10 филтъра остава 0,107, а след 11 — 0,086, тоест под 0,1.
• Удвояване. След 10 часа удвояване количеството е 1024 пъти началното.

Какво е опростено

• Кривите са рисувани по краен брой точки; решенията се пресмятат точно.
• Основата е от 0,05 до 5 на плъзгача; други основи се въвеждат като число.
• Смятаме само основните уравнения и неравенства и тези, които се свеждат до квадратни.