Оградата

От градината до уравнението

Страните на градината са x и y. Имаме две равенства: мрежата е цялата обиколка, 2x + 2y = 40, а лицето е x · y = 96. От първото y = 20 − x. Заместваме във второто:

x(20 − x) = 96  ⇔  x² − 20x + 96 = 0

Това е квадратно уравнение. Сборът на страните (20) е половината мрежа, а свободният член (96) е лицето.

• До стена мрежата е само три страни: x + 2y = L и уравнението е x² − Lx + 2S = 0.
• С преграда по средата (две лехи): 2x + 3y = L и 2x² − Lx + 3S = 0.

Дискриминантата решава

За ax² + bx + c = 0 пресмятаме дискриминантата D = b² − 4ac. Корените са x₁,₂ = (−b ∓ √D) : 2a.

• D > 0 — два различни корена: градина има.
• D = 0 — един двоен (двукратен) корен: точно една градина.
• D < 0 — няма реални корени: мрежата не стига за такова лице.

С 40 m и 96 m²: D = 20² − 4 · 96 = 16, корените са 8 и 12. С 110 m²: D = 400 − 440 = −40 < 0. Това не значи, че страните са отрицателни — значи, че такава градина няма.

Кратка формула. Когато b е четно, b = 2k, е по-лесно с D₁ = k² − ac и x₁,₂ = (−k ∓ √D₁) : a. За x² − 20x + 96 = 0: k = −10, D₁ = 100 − 96 = 4, корените са 10 ∓ 2.

Два корена — колко градини?

В свободната градина корените 8 и 12 дават градините 8 × 12 и 12 × 8. Това е една и съща градина, завъртяна: дължината и ширината си разменят местата.

До стената е друго: с 40 m мрежа и 150 m² корените на x² − 40x + 300 = 0 са 10 и 30, а градините 10 × 15 и 30 × 5 са две наистина различни. Затова корените винаги се тълкуват: какво значат в задачата?

Най-голямата градина

Градина има само ако D ≥ 0. За свободна градина D = L² : 4 − 4S ≥ 0, тоест S ≤ L² : 16. Най-голямото лице е при D = 0 — тогава градината е квадрат. С 40 m мрежа това е 10 × 10 = 100 m².

• Същата ограда — различно лице. С 20 m мрежа градината 1 × 9 има 9 m², а квадратът 5 × 5 — 25 m².
• Двойна мрежа — четворно лице. С 20 m най-много 25 m², с 40 m — 100 m².
• До стената квадратът не е най-добър. Най-голямата е 20 × 10 = 200 m²: стената „работи“ вместо една страна.

Формулите на Виет

Ако x₁ и x₂ са корените на ax² + bx + c = 0, то x₁ + x₂ = −b : a и x₁ · x₂ = c : a. За градината това се чете направо: сборът на страните е половината мрежа, а произведението е лицето. Градина 7 × 5 m има уравнение x² − 12x + 35 = 0.

Пътеката. Около леха 10 × 6 m има пътека с ширина w и 36 m² чакъл: 4w² + 32w − 36 = 0. Произведението на корените е −9 < 0, значи те са с различни знаци: 1 и −9. Отрицателната ширина отпада — пътеката е широка 1 m.

Знаеш ли, че…

По легендата основателката на Картаген, Дидона, получила толкова земя, колкото може да огради с една волска кожа. Тя нарязала кожата на тънки ленти и оградила с тях цял хълм. Математиците наричат „задача на Дидона“ търсенето на най-голямото лице, оградено от права линия (например бряг) и крива.