Забранените стойности

Допустими стойности

На нула не се дели: няма число c, за което c · 0 = 5. Затова изразът (x + 3)/(x − 2) не съществува при x = 2 – там знаменателят е 0. Дори 0/0 няма стойност.

Стойностите, при които знаменател става 0, са недопустимите стойности. Всички останали са допустимите стойности на израза.

• Недопустими: x = 2 или x = −3.
• Допустими: x ≠ 2 и x ≠ −3.

Допустимите стойности са отрицанието на „x = 2 или x = −3“, затова в тях стои „и“.

Нулата на числителя не е забранена. При x = −3 числителят на (x + 3)/(x − 2) е 0, а знаменателят е −5: стойността е 0 – тя съществува.

Има и изрази без нито една забранена стойност: в (x + 1)/(x² + 1) знаменателят е поне 1, защото квадратът на число не е отрицателен.

Съкращаването не маха забраната

(x² − 4)/(x − 2) = (x − 2)(x + 2)/(x − 2). Делим числителя и знаменателя на x − 2, но това е позволено само когато x − 2 ≠ 0. Затова пишем:

(x² − 4)/(x − 2) = x + 2 при x ≠ 2

При всяко друго число двата записа дават едно и също. При x = 2 съкратеният дава 4, а първоначалният не съществува. Недопустимите стойности се търсят в първоначалния запис – преди съкращаването.

Съкращава се множител, не събираемо. (x + 3)/(x + 5) не е 3/5: при x = 1 стойността е 4/6 = 2/3.

Дробни уравнения и чужди корени

1. Определи допустимите стойности.
2. Приведи към общ знаменател и умножи двете страни по него.
3. Реши полученото линейно или квадратно уравнение – това са кандидатите.
4. Провери всеки кандидат: допустим ли е?
5. Напиши отговора.

Умножаването по общия знаменател дава еквивалентно уравнение само при допустимите стойности. Кандидат, който е недопустима стойност, е чужд корен и отпада.

Пример: x/(x − 1) = 1/(x − 1). След умножаване по x − 1 излиза x = 1, но при 1 знаменателите са 0. Уравнението няма корени.

Делиш на израз с x – можеш да изгубиш корен. Умножаваш по израз с x – можеш да спечелиш чужд. Затова проверяваш.

Има ли смисъл коренът?

Двата крана: 1/t + 1/(t + 3) = 1/2 има корени −2 и 3 и двата са допустими. Но време −2 h няма смисъл: по-бързият кран пълни басейна за 3 h, а по-бавният – за 6 h.

„Разделената сметка“ 240/(n − 2) € на човек дава при n = 1 −240 €: изразът съществува, но отговорът няма смисъл.