Таблицата, която намира корените

Схемата на Хорнер

Нека P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. В първия ред на таблицата се пишат всички коефициенти, като липсващите степени получават 0. Във втория ред първото число се пренася, а всяко следващо е коефициентът + числото преди него · a.

Последното число е остатъкът, а числата пред него са коефициентите на частното, което е с една степен по-ниско. Затова P(x) = (x − a)·Q(x) + r.

Таблицата има n умножения и n събирания — по-малко от смятането на всяка степен поотделно.

Теорема на Безу

Остатъкът при деление на P(x) с x − a е P(a): точно височината на точката (a; P(a)) от графиката. Числото a е корен на полинома, когато остатъкът е нула, и тогава x − a дели полинома без остатък.

Внимавай със знака. При деление с x + 3 в таблицата се пише −3, защото x + 3 = x − (−3). Остатъкът е P(−3), не P(3).

Рационални корени

Ако коефициентите са цели числа и p/q е несъкратима дроб, която е корен, то числителят p дели свободния член, а знаменателят q дели старшия коефициент. Не ги разменяй. Когато старшият коефициент е 1, всеки рационален корен е цяло число.

Кандидатите са краен брой и се проверяват един по един. Когато намериш корен, раздели и продължи с частното; двоен корен се появява два пъти. Ако свободният член е 0, първо изнеси x като множител — тогава 0 е корен.

Липсата на рационален корен не значи липса на корен. При x³ − 2 кандидатите ±1 и ±2 не са корени, а графиката пресича оста между 1 и 2 — там е числото, което не е дроб. Не значи и липса на множители: x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² − x + 1).

Разлагане и неравенства

Всеки намерен корен дава множител. Коренът 1/2 дава 2x − 1, а не x − 1/2, за да останат цели коефициентите: 2x³ − 3x² − 11x + 6 = (x + 2)(2x − 1)(x − 3).

Между два съседни корена знакът на полинома не се сменя. През двоен корен знакът изобщо не се сменя. Затова неравенство като x³ − 4x² + x + 6 > 0 има решение (−1; 2) ∪ (3; +∞). Слоят „Знак на полинома“ го показва върху оста.

Бройни системи

Числото 1011 в двоична система е стойността на полинома x³ + x + 1 при x = 2, тоест 11. Същата таблица с пробно число, равно на основата, превръща число от всяка друга система в десетична. Цифрите в система с основа p са от 0 до p − 1.