Тъждество или не?

Тъждествено равни изрази

Два цели израза са тъждествено равни, ако при всяко x имат равни числени стойности. Равенство, двете страни на което са тъждествено равни изрази, се нарича тъждество.

2(x + 3) = 2x + 6 е тъждество: при x = 0 двете страни са 6, при x = 1 – 8, при x = −4 – −2… и така при всяко число.

Едно число стига, за да опровергаеш

Ако намериш едно x, при което двете страни се различават, равенството не е тъждество. Такова число се нарича контрапример (пример, който опровергава).

(x + 1)² = x² + 1? При x = 0: 1 = 1. Но при x = 1: 4 ≠ 2. Опровергано.

Много съвпадения не доказват

x + (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x − 4)(x − 5) и x съвпадат при 1, 2, 3, 4 и 5. Но при x = 0 лявата страна е −120, а дясната 0.

Пробите могат само да намерят контрапример или да подскажат. Колкото и проби да съвпадат, те не са доказателство.

Доказателството: разликата е 0

1. Разкрий скобите.
2. Приведи подобните едночлени – запиши израза в нормален вид.
3. Сравни нормалните видове на двете страни (или: разликата им е 0).
4. Извод: тъждество – или не.

(x + 2)(x² − 2x + 4) = x³ − 2x² + 4x + 2x² − 4x + 8 = x³ + 8.

Внимание с минуса пред скоби: той сменя знака на всички членове в тях: −(x − 5) = −x + 5, а не −x − 5.

Формули за съкратено умножение

• (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
• (a + b)(a − b) = a² − b²
• (a ± b)(a² ∓ ab + b²) = a³ ± b³
• (a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

Честа грешка: (a + b)² = a² + b². Тя „работи“ само ако a = 0 или b = 0 – затова пробите с 0 лъжат. Също: (2x)² = 4x², не 2x²; x · x · x = x³, не 3x.

Бързо смятане

Тъждествата помагат да смяташ наум:

49 · 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 2500 − 1 = 2499; 998² = (1000 − 2)² = 1 000 000 − 4000 + 4 = 996 004.