Неравенства на числовата ос

Решение на неравенство

В линейното неравенство с едно неизвестно двете страни са свързани със знак <, >, ≤ или ≥, например 2x − 3 > 5. Число, при което неравенството е вярно, е решение. Проверката е „пробата“: заместваш и сравняваш двете страни. При x = 4,1: 8,2 − 3 = 5,2 > 5 — вярно. При x = 4: 5 > 5 — невярно.

Решенията не са едно число, а цял лъч от числа: всички числа, по-големи от 4. Решения са и 4,1, и 4,01, и 4,001 — безброй са.

Строго и нестрого

Знаците < и > са строги: граничното число не е решение. Знаците ≤ и ≥ са нестроги: граничното число е решение, защото „равно“ е позволено. На оста строгото се рисува с празно кръгче, а нестрогото — със запълнено.

Свойства и обръщане на знака

• Ако прибавиш едно и също число към двете страни, посоката се запазва.
• Ако умножиш (или разделиш) двете страни на положително число — също.
• Ако умножиш (или разделиш) на отрицателно число, знакът на неравенството се обръща.

Защо? Умножението по −1 отразява числовата ос като в огледало: 2 < 5, но −2 > −5. По-лявото число става по-дясното. Важно е на какво делиш, а не дали отдясно има минус: от 2x < −6 следва x < −3 (делим на +2, знакът остава).

По 0 не се умножава: двете страни стават 0 = 0 и неравенството изчезва. Члена от едната страна прехвърляме в другата с противоположен знак.

Еквивалентни неравенства и число-свидетел

Две неравенства са еквивалентни (равносилни), ако имат едни и същи решения. Всяка стъпка при решаването трябва да запазва решенията. Ако една стъпка ги промени, има число-свидетел: при него старото неравенство казва „вярно“, а новото — „невярно“ (или обратно). Пример: от −2x < 6 някой пише x < −3. При x = −4 старото е 8 < 6 — невярно, а новото −4 < −3 — вярно. Значи стъпката е грешна.

Запис с интервал

• x > 4 се записва (4; +∞), а x ≥ −4 — [−4; +∞);
• x < −3 се записва (−∞; −3), а x ≤ 2 — (−∞; 2].

Кръгла скоба — краят не е включен; квадратна — включен е. Безкрайността не е число, затова при нея скобата е винаги кръгла.

Когато неизвестното изчезне

В 2(x + 3) > 2x + 1 след разкриване на скобите остава 6 > 1 — вярно, затова решение е всяко число. В 3(x − 1) < 3x − 5 остава −3 < −5 — невярно, затова няма решение. А 4x − 1 ≤ 4x − 1 е вярно за всяко x, докато 4x − 1 < 4x − 1 — за нито едно: един знак разлика.

Неравенства в живота

Екскурзия: такса 12 € и 8 € на час, бюджет 50 €. Тогава 12 + 8t ≤ 50, тоест t ≤ 4,75. Часовете са цели, затова отговорът е най-много 4 часа: за 5 часа ще платиш 52 €.

Два плана: А струва 10 € и 0,05 € на минута, Б — 0,15 € на минута. А е по-евтин, когато 10 + 0,05m < 0,15m, тоест при m > 100. При точно 100 минути двата струват по 15 €.