Ъгълът от трибуната

Вписан ъгъл

Ъгъл с връх P на окръжността, чиито рамена пресичат окръжността в A и B, се нарича вписан ъгъл. Той се опира на дъгата AB, която не съдържа P. Ъгълът AOB с връх в центъра е централният ъгъл (от 6 клас).

Вписаният ъгъл е равен на половината от дъгата, на която се опира: ∠APB = дъгата AB : 2.

• Всички вписани ъгли над една и съща дъга са равни – затова зрителят по трибуната вижда вратата все под същия ъгъл, макар че рамената се удължават и скъсяват.
• От другата дъга хордата се вижда под 180° − α: двете дъги са 360° заедно.
• Вписаният ъгъл над диаметър е прав (половината от 180°).

Половината, не цялото. Ако дъгата е 140°, вписаният ъгъл е 70°, а не 140°. Равен на дъгата е централният ъгъл.

Защо е така?

Измерването подсказва, доказателството убеждава. Първо случаят, в който центърът е на рамо:

1. Нека PA е диаметър, тоест центърът O е на рамото.
2. OP = OB (радиуси), затова триъгълникът OPB е равнобедрен и ъглите при P и B са равни.
3. Централният ъгъл AOB е външен за триъгълника OPB – равен е на сбора на двата равни ъгъла.
4. Значи ∠AOB = 2 · ∠APB.

Ако центърът е вътре в ъгъла, диаметърът PP′ го разделя на два такива ъгъла и събираме. Ако центърът е вън от ъгъла – изваждаме. Правилото важи и в трите случая.

Периферен ъгъл

Ъгълът с връх A на окръжността, на който едното рамо е допирателна, а другото – хордата AB, се нарича периферен ъгъл. Допирателната е перпендикулярна на радиуса OA.

Периферният ъгъл също е половината от дъгата в него.

Плъзни зрителя P по окръжността чак до A: правата PA се завърта към допирателната, а ъгълът не се мени. Периферният ъгъл е „последният“ вписан ъгъл.

Връх вътре и вън от окръжността

• Връх вътре (две хорди се пресичат): ъгълът е полусборът на дъгата в ъгъла и дъгата във връхния му ъгъл. Той е по-голям от вписания.
• Връх вън (две секущи): ъгълът е полуразликата на далечната и близката дъга. Той е по-малък от вписания.

Не разменяй правилата. Отвътре зрителят е по-близо до вратата и я вижда под по-голям ъгъл – значи там се събира. Отвън се изважда.

Обратното не е автоматично вярно. Всяка точка на трибуната вижда вратата под 70°. Но под 70° я вижда и цяла огледална трибуна извън стадиона, от другата страна на вратата. „Вижда под 70°“ е необходимо условие, за да си на трибуната, но не е достатъчно – трябва и да си от същата страна на вратата.

Мисии: камерата и масата

Камерата на сцената. Обективът хваща 40°. Колко широка да е сцената, за да я хваща точно от трибуната? Сцената трябва да отрязва дъга 80° – и тогава кадърът е точен от всяко място на трибуната.

Центърът на масата. Дърводелецът поставя прав ъгъл с връх на ръба на кръгла маса. Рамената срещат ръба в X и Y; правият вписан ъгъл се опира на полуокръжност, значи XY е диаметър. Два диаметъра се пресичат в центъра.