Права по точки

Линеен модел и остатъци

Линейният модел е права ŷ = a + b·x. Отрезът a е стойността при x = 0, а наклонът b казва с колко се променя прогнозата, когато x нарасне с едно. (В y = kx + n от осми клас наклонът е k, а отрезът е n.)

Остатъкът на една точка е вертикалното разстояние от точката до правата: e = y − (a + b·x). В симулацията той е отсечка, а квадратът му е площ.

Защо квадрати, а не точки или сума със знак

Правилото е ясно: най-добра е правата с най-малка сума от квадратите на остатъците.

• Не е най-добра правата през най-много точки. Правата 50 + 4·x минава през четири от осемте точки, но сумата от квадратите е 200. Най-добрата права не минава през нито една точка, а сумата ѝ е 97,33.
• Нулата лъже. Сумата на остатъците със знак е нула за всяка права през средната точка, дори за хоризонталната, чиято сума от квадратите е 886. Положителните и отрицателните остатъци се унищожават и затова сумата със знак не може да избере права.

Влаченето на правата е откритие, не доказателство. Доказателството е в слоя „Защо?“: ако задържиш наклона, сумата е парабола на отреза с едно най-ниско място; същото е за наклона.

Нормалната система уравнения

Най-ниското място на двете параболи е там, където са изпълнени две уравнения. Те се наричат нормална система уравнения; в тях n е броят на точките:

n·a + (сумата на всички x)·b = сумата на всички y
(сумата на всички x)·a + (сумата на квадратите на x)·b = сумата на произведенията x·y

За часовете подготовка системата е 8a + 36b = 572 и 36a + 204b = 2756. Решава се с детерминанти: детерминантата на системата е 8·204 − 36² = 336, затова a = 17472/336 = 52 и b = 1456/336 = 13/3.

• Първото уравнение, делено на n, е a + b·(средното на x) = средното на y: най-добрата права винаги минава през средната точка.
• Ако всички x са еднакви, двете уравнения са пропорционални и системата няма единствено решение: нужни са поне две точки с различни x.

Прогнозиране и граници

Прогнозата е ŷ(x₀) = a + b·x₀. Вътре в обхвата на данните (интерполация) тя е надеждна. Извън него (екстраполация) е само предположение.

• При 4,5 часа подготовка прогнозата е 71,5 точки: вътре в данните.
• При 20 часа тя е 138,67 точки, а тестът е най-много до 100: невъзможна стойност. Свещ, която гори, получава дължина −7,1 cm след 300 минути.

Нормално разпределени остатъци

Когато остатъците са приблизително нормално разпределени, методът на най-малките квадрати дава най-правдоподобната права. Проверката е хистограмата на остатъците: камбана около нулата. При нормално разпределение около 68 на сто от остатъците са в едно стандартно отклонение от нулата и около 95 на сто — в две.

• За ръста и дължината на стъпалото хистограмата е почти камбана: 24 от 40 остатъка са в едно стандартно отклонение.
• За разстоянието до училище и времето за път правата пак е най-добрата по квадратите, а хистограмата е изкривена: закъсненията са само нагоре. Методът дава права винаги, но не прави остатъците нормални.

Думата „нормално“ е за разпределението, не за хората: числата за ръст и стъпало не са оценка на никого.

Капани

• Един сгрешен запис. Ако вместо 93 точки се запише 39, наклонът пада от 4,33 на 0,87, около пет пъти. Точка точно над средното x само вдига правата.
• Една извадка не е законът. Двете половини на данните за ръста дават малко различни прави.
• Връзката не е причина. Точките лежат близо до правата, но това не значи, че повече часове подготовка непременно причиняват по-висок резултат.

Знаеш ли, че…

Методът на най-малките квадрати е публикуван в началото на деветнадесети век. С него е пресметната орбитата на малкото небесно тяло Церера, изгубено след откриването му на 1 януари 1801 година, и то е намерено отново.