Средната отсечка

Средна отсечка в триъгълник

Нека M е средата на страната AC, а N – средата на BC. Отсечката MN се нарича средна отсечка на триъгълника ABC.

Средната отсечка е успоредна на третата страна и е равна на половината от нея: MN ∥ AB и MN = AB : 2.

Това важи за всеки триъгълник – остроъгълен, тъпоъгълен, „завъртян“, а не само за спретнатия равнобедрен от чертежа. Ако местиш само върха C, средната отсечка се качва и слиза, но дължината ѝ стои: тя зависи само от AB.

Средна отсечка ≠ медиана. Медианата свързва връх със средата на срещуположната страна. Средната отсечка свързва средите на две страни.

Трите средни отсечки режат триъгълника на четири еднакви триъгълника (по три страни: AB/2, BC/2, AC/2). Затова малкият триъгълник MNC е ¼ от лицето – не половината, макар че MN минава през средите.

Защо е така?

Измерването подсказва, доказателството убеждава. Ето доказателството с еднакви триъгълници:

1. Удължаваме MN след N до точка E, така че NE = MN.
2. Триъгълниците MNC и ENB са еднакви: CN = NB, MN = NE, а ъглите при N са връхни.
3. Затова BE = CM = AM и BE ∥ AC.
4. Четириъгълникът ABEM има две срещуположни страни равни и успоредни – той е успоредник. Значи ME = AB и ME ∥ AB, а MN е половината от ME.

Обратната теорема и една клопка

Права през средата на една страна, успоредна на втора страна, минава през средата на третата. В „Лов на средата“ N е средата на BC: отсечката PN става успоредна на AB точно когато P е средата на AC.

Половината не стига. „P е среда“ е достатъчно, за да е PN = AB/2. Обратното не е вярно: в някои триъгълници има и друга точка P с PN = AB/2, но тогава PN не е успоредна на AB. Условието „PN = AB/2“ е необходимо, но не достатъчно.

Средна отсечка в трапец

В трапеца ABCD с основи AB = a и DC = b средната отсечка свързва средите на бедрата AD и BC.

Тя е успоредна на основите и е равна на полусбора им: MN = (a + b) : 2.

Например при основи 10 cm и 6 cm средната отсечка е 8 cm, а не 5 cm – правилото „половината от основата“ е за триъгълника. Но когато горната основа се свие до точка (b = 0), трапецът става триъгълник и (a + 0) : 2 = a : 2. Едно правило, не две.

Доказателство: правата DN пресича правата AB в E. Триъгълниците DCN и ENB са еднакви, затова BE = DC = b и DN = NE. Тогава MN е средна отсечка в триъгълника ADE: MN = (a + b) : 2.

Лицето на трапеца е средната отсечка по височината: S = MN · h.

Средите на страните на четириъгълник

Свържи средите K, L, M, N на страните на какъвто и да е четириъгълник – дори вдлъбнат като стрела. Получаваш успоредник. Защо: диагоналът AC реже фигурата на два триъгълника, в които KL и NM са средни отсечки – и двете са успоредни на AC и равни на AC/2.

• Обиколката на успоредника KLMN е равна на сбора на диагоналите.
• Той е правоъгълник, когато диагоналите са перпендикулярни, и ромб, когато са равни.

Мисия: гредата на покрива

Майсторът сглобява макет на покрив. Хоризонталната греда свързва средите на двете ребра – значи е средна отсечка и е половината от разпереността на покрива. Дори ако билото е изместено встрани и ребрата са различни, гредата е същата. Поръчай я, преди да я премериш – рязането е скъпо!