Анкетата в града

Анкетата е многократен опит с два изхода

В един измислен град част p от хората ще отговорят „да“. Когато питаме един случаен човек, имаме опит с два изхода: „да“ с вероятност p и „не“ с вероятност q = 1 − p. Анкета на n души е n такива независими опита.

Вероятността точно k от n души да кажат „да“ е

P(X = k) = C(n, k) · pᵏ · qⁿ⁻ᵏ, k = 0, 1, …, n

Пример: n = 3 и p = 1/2 дават 1/8, 3/8, 3/8 и 1/8. Всички вероятности в таблицата на разпределението имат сума 1.

Много анкети: хистограма и акумулирани честоти

Ако направим много анкети, записваме колко „да“ е имало във всяка. Честотата на стойността k е в колко анкети са се получили точно k „да“. Акумулираната честота е сборът на честотите до k. Пример с 20 анкети по 10 души:

Средното е 5, а дисперсията (средното на квадратите на отклоненията от средното) е 1,9, тоест стандартното отклонение е около 1,38. Оценката на дела е 5 : 10 = 0,5.

Биномното разпределение

• Математическо очакване: E = n · p – средният брой „да“ в една анкета.
• Дисперсия: D = n · p · q; стандартно отклонение: σ = √(n · p · q).
• Най-вероятна стойност: цялата част на (n + 1) · p. Ако (n + 1) · p е цяло число, има две най-вероятни стойности: например при n = 9 и p = 1/2 са 4 и 5.

Средното 4,5 при n = 9 не може да се падне в нито една анкета: средното не е „типичният“ резултат.

Нормалната крива и стандартната стойност

Когато очакваните „да“ и „не“ са поне 5 (n · p ≥ 5 и n · q ≥ 5), стълбовете приличат на камбана. Стандартизираме с z = (k − n · p) : σ. В лентите около очакването попадат около 68 % от резултатите при едно стандартно отклонение, около 95 % при две и около 99,7 % при три.

При n = 100 и p = 1/2 очакването е 50, σ = 5, а интервалът 40 … 60 съдържа 96,48 % от анкетите. За вероятност на интервал с нормалната крива добавяме и отнемаме 0,5 от краищата (поправка за непрекъснатост).

Кога разликата от 50 % е значима?

Сравняваме резултата с очакването при 50 %: интервалът е n/2 ± 2σ. Ако резултатът е вън от него, разликата е значима. Пример: при 20 души интервалът е от 5,53 до 14,47. Резултат 13 „да“ (65 %) не е значим, а 15 „да“ (75 %) е.

„Не е значима“ не значи „делът е точно 50 %“. Значи само, че тази извадка не стига, за да кажем, че делът е различен от 50 %.

Колко души да питаме?

Лентата на дела при 50 % е 2 · √(0,25 : n). При 100 души е 10 %, при 400 – 5 %, при 1000 – около 3,2 %. Четири пъти повече хора дават само два пъти по-тясна лента.

Размерът на града почти не влияе: за анкета от 400 души в град от 100 000 поправката е 0,998. И голямата анкета не поправя грешния подбор – ако питаме само хора от една група, резултатът остава изкривен, колкото и да са много.

Типични грешки

• „13 от 20 са 65 %, значи в града са точно 65 %.“ Нова анкета ще даде друго число.
• „При 400 души най-често ще излиза точно 200 „да“.“ Точно 200 има само в около 4 % от анкетите.
• „Двойно по-голяма анкета дава двойно по-малка грешка.“ Трябват четири пъти повече хора.