Решаване на равнинни фигури

Главната идея: разрежи на триъгълници

Всеки многоъгълник се разрязва на триъгълници, а триъгълниците умееш да решаваш със синусовата и косинусовата теорема. Диагоналът е ножът: четириъгълникът ABCD се разрязва по AC на триъгълниците ABC и ACD, а лицето е сборът от техните лица.

Решаваш стъпка по стъпка: във всяка стъпка едно правило добавя един нов елемент.

Успоредник

Срещуположните страни са равни, срещуположните ъгли са равни, а съседните се допълват до 180°. Три независими елемента го определят, например AB, AD и ъгъл A.

Диагоналите: AC² + BD² = 2·(AB² + AD²). Лицето е AB·AD·sin A.

Диагоналите на успоредника не са равни: при страни 5 и 3 и ъгъл 60° те са 7 и около 4,36. Равни са само при прав ъгъл – тогава успоредникът е правоъгълник.

Трапец

Права през C, успоредна на бедрото AD, отрязва помощен триъгълник със страни AB − CD, AD и BC. Решаваш него, и от него намираш височината h = AD·sin A.

Лице: (AB + CD) / 2 · h. Нужни са четири независими елемента.

Четириъгълник: четири страни не стигат

Триъгълникът е твърд: три страни го определят. Четириъгълникът не е твърд – рамка от четири летви се клати. При страни 3, 4, 12 и 13 лицето е около 26,6 при ъгъл B = 60°, 36 при 90° и около 41,6 при 120°. Трябва още един елемент, например диагонал.

Лице през диагоналите: ½·d₁·d₂·sin φ, където φ е ъгълът между диагоналите.

Половината от произведението на диагоналите, без синуса, е вярна само при перпендикулярни диагонали. При диагонали 10 и 6 под ъгъл 30° лицето е 15, а не 30.

Правилен многоъгълник

Правилният n-ъгълник се разрязва на n еднакви равнобедрени триъгълника с връх в центъра. Централният ъгъл е 360° / n, вътрешният е (n − 2)·180° / n.

• Страна: a = 2·R·sin(180° / n).
• Радиус на вписаната окръжност: r = R·cos(180° / n).
• Периметър P = n·a.

Лице: ½·P·r = ½·n·R²·sin(360° / n).

Лицето е ½·P·r, а не ½·P·R: височината на всеки триъгълник е радиусът на вписаната окръжност. Страната е равна на R само при шест страни.

Достатъчни ли са данните?

Преди да решаваш, провери данните. Има четири възможности:

• Недостатъчни: независимите елементи са по-малко от нужните.
• Достатъчни: точно толкова, колкото трябват (понякога две решения).
• Излишни: повече от нужните, но съвместими.
• Противоречиви: числата не могат да са на една фигура.

Втори ъгъл на успоредник не помага: съседните ъгли се допълват до 180°. Страни 3 и 4 с диагонал 8 са противоречиви, защото 3 + 4 < 8. А страна 8, ъгъл 60° и диагонал 7 дават два успоредника: страната AD е 3 или 5.

Два подхода

Една и съща задача често се решава по повече от един начин. Сравни ги по броя на стъпките и по това дали стигат числата без корени или са нужни калкулатор. Лицето на успоредник със страни 7 и 5 и диагонал 8 се намира с Хероновата формула за триъгълник ABD само за две стъпки, а през ъгъл A са нужни три.