Стълби, удвоявания и средни стойности

Стълбичка: аритметична прогресия

При аритметичната прогресия всеки член се получава от предишния с прибавяне на едно и също число – разликата d. Върховете на стълбчетата лежат на права.

• Членът с номер n е на n − 1 стъпала от първия: a_n = a₁ + (n − 1)d. Между първото и десетото стълбче са девет стъпала, а не десет.
• При d > 0 редицата е растяща, при d < 0 – намаляваща, а при d = 0 – постоянна.
• Всеки член е средноаритметичното на двата си съседа: a_k = (a_k−1 + a_k+1) : 2.

Сборът на първите n члена: копирай стълбичката, обърни я наопаки и я долепи към първата – получава се правоъгълник с n стълбчета, всяко с височина a₁ + a_n. Сборът е половината от него: S_n = n · (a₁ + a_n) : 2. Така сборът на числата от 1 до 100 е 100 · 101 : 2 = 5050. Има легенда, че един ученик пресметнал този сбор за минути, като събрал числата по двойки отвън навътре; самият метод е много по-стар.

Растеж: геометрична прогресия

При геометричната прогресия всеки член се получава от предишния с умножение по едно и също число – частното q (различно от нула). Членът с номер n е b_n = b₁ · q^{n − 1}.

• При q > 1 (и положителен първи член) стъпалата стават все по-високи.
• При 0 < q < 1 стълбчетата намаляват, но остават положителни: умножението не винаги увеличава.
• При q < 0 знакът се сменя на всяка стъпка и редицата не е монотонна.
• При отрицателен първи член и 0 < q < 1 редицата расте: −8, −4, −2, −1, …

Сборът на първите n члена при q ≠ 1 е S_n = b₁ · (qⁿ − 1) : (q − 1), а при q = 1 е n · b₁.

Редицата може да се зададе с общ член (всеки член се пресмята от първия) или рекурентно (всеки член се получава от предишния). Двата начина дават едни и същи членове.

Удвояването изпреварва прибавянето

Кое предложение да избереш за 30 дни: 1000 € всеки ден или 1 цент, който се удвоява всеки ден? Удвояването започва от нищожна сума, но на осемнадесетия ден вече дава повече от 1000 € за деня, а за всичките 30 дни общата сума надхвърля 10 милиона евро – срещу 30 000 € при постоянната сума. Колкото и малък да е началото, удвояването рано или късно изпреварва всяко прибавяне на постоянно число.

Същото показва мисията „Сгъни листа“: лист с дебелина 0,1 mm, сгънат 42 пъти, би стигнал по-далеч от Луната (384 399 km). Това е мисловен опит – истински лист не може да се сгъне толкова пъти.

Обещания, че парите ще се удвояват, са признак на измама. Сметките тук са за мислене, а не съвет как да се пазят или влагат пари.

Данни: средноаритметично, медиана, мода

Данните са точки върху числова ос; еднаквите се трупат една над друга. Подредените по големина данни образуват вариационен ред.

• Средноаритметичното е сборът, разделен на броя. То е „точката на равновесие“: ако оста е лост, там опората я държи хоризонтална.
• Медианата е средата на подредените данни. При четен брой има две средни и медианата е по средата между тях. В записа 9, 2, 7, 3, 5 средното място е 7, но медианата е 5 – първо се подрежда.
• Модата е най-често срещаната стойност. Може да няма мода (всичко е еднакво често) или да има две.

Една крайна стойност мести силно средноаритметичното, а медианата почти не. Затова обява за работа с „средна заплата 2586 €“ може да подвежда: шестима от седмината служители получават по-малко. По-честното число за „типична заплата“ тук е медианата, 1400 €. Седемте служители са генералната съвкупност на фирмата; ако измерваме само част от тях, тя е извадка.

Провери, не повтаряй

„Умножението винаги увеличава“, „средното е типичното“, „медианата е средното място от записа“ – все твърдения, които звучат убедително и са грешни. Във всяка задача Знайко ти казва нещо; ти го проверяваш със симулацията, преди да решиш дали е вярно.