Подобни триъгълници

Какво значи „подобни“

Триъгълниците ABC и A₁B₁C₁ са подобни (пише се △ABC ∽ △A₁B₁C₁), когато ъглите им са съответно равни, а съответните страни са пропорционални:

A₁B₁ : AB = B₁C₁ : BC = C₁A₁ : CA = k. Числото k е коефициентът на подобие.

„Увеличаване“ значи умножаване на всяка страна по едно и също число. Ако добавиш по 2 cm към всяка страна, отношенията стават различни и ъглите се менят: триъгълникът със страни 4, 6 и 8 cm е тъпоъгълен, а този със страни 6, 8 и 10 cm е правоъгълен.

Еднаквите триъгълници са подобни с коефициент 1. Обърнат или завъртян триъгълник е подобен – съответните върхове се търсят по равните ъгли, а не по мястото на чертежа.

Признаци за подобност

Два триъгълника са подобни, ако:

• по два ъгъла – два ъгъла на единия са равни на два ъгъла на другия;
• по две страни и ъгъла между тях – две страни са пропорционални, а ъглите между тях са равни;
• по три страни – трите страни са пропорционални.

Клопка. Две пропорционални страни и равен ъгъл, който не е между тях, не винаги стигат: ако ъгълът е срещу по-малката от двете страни, от едни и същи данни излизат два различни триъгълника.

Обиколки, височини и лица

Всички съответни отсечки – страни, височини, обиколки – се отнасят като k. Но лицата се отнасят като k².

S₁ : S = k²

Защо: лицето е основа по височина, делено на 2, а и основата, и височината стават k пъти по-дълги. Затова при k = 2 копието се покрива от 4 плочки като първия триъгълник, а при k = 3 – от 9. Обратно: лице 4 пъти по-голямо значи страни 2 пъти по-дълги, не 4.

Теоремата на Талес

Права, успоредна на страната AB, пресича CA в M и CB в N. Тя отрязва триъгълник CMN, подобен на CAB (общ ъгъл при C и съответни ъгли при успоредни прави).

CM : MA = CN : NB и MN : AB = CM : CA

Внимание: MN : AB е равно на CM : CA, а не на CM : MA. Средната отсечка е частният случай с коефициент 0,5.

Обратната теорема на Талес: ако CM : MA = CN : NB, то MN е успоредна на AB. Но равенството MN : AB = CM : CA е само необходимо условие, не достатъчно: има друго място на N, където отсечката е със същата дължина, но е накриво.

Ъглополовящата

Ъглополовящата от C пресича AB в L и дели страната в отношението на прилежащите страни: AL : LB = AC : BC.

Височина към хипотенузата

В правоъгълния триъгълник ABC (прав ъгъл при C) височината CD = h го реже на два триъгълника, подобни на целия: всеки има общ ъгъл с него и прав ъгъл. Проекциите на катетите a и b върху хипотенузата c са a₁ и b₁.

h² = a₁ · b₁, a² = c · a₁, b² = c · b₁

Височината е средно геометрично на проекциите, не на катетите. При катети 6 и 8 cm височината е 4,8 cm. Корен от 6 · 8 е около 6,9 cm – по-дълго от катета, а това е невъзможно.

Мисия: колко е висока кулата?

Слънцето е много далеч, затова лъчите му са успоредни. Отвесна пръчка и кулата хвърлят сенки, които образуват два подобни правоъгълни триъгълника: пръчка : сянка на пръчката = кула : сянка на кулата. Двете сенки трябва да се мерят по едно и също време – слънцето се мести.

При пирамида върхът е над центъра на основата, затова към видимата сянка се добавя половината основа. А с огледало на земята стигат три разстояния: ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение.

Знаеш ли, че… Според по-късни древни автори Талес измерил пирамида по сянката ѝ, като изчакал момента, в който сянката на човек е равна на ръста му. Негови съчинения не са запазени.

Безопасност: никога не гледай към слънцето – нито направо, нито в огледалото. Мери само от земята, без катерене.