Страната на квадрата

Квадратен корен

Квадратен корен от неотрицателното число S е неотрицателното число, чийто квадрат е S. Пишем √S и четем „корен квадратен от S“. Числото под знака е подкоренната величина, а действието е коренуване.

На чертеж: √S е страната на квадрат с лице S. √9 = 3, защото квадрат със страна 3 има лице 9. √2,25 = 1,5, защото 1,5 · 1,5 = 2,25.

Квадрат с отрицателно лице няма. Затова коренът се взима само от неотрицателни числа и самият той е неотрицателен.

Стесняване цифра по цифра

Как да намерим страната на квадрат с лице 2? Пробваме и сравняваме лицата:

• 1² = 1 < 2, а 2² = 4 > 2. Значи 1 < √2 < 2.
• 1,4² = 1,96 < 2, а 1,5² = 2,25 > 2. Значи 1,4 < √2 < 1,5.
• 1,41² = 1,9881 < 2, а 1,42² = 2,0164 > 2. Значи 1,41 < √2 < 1,42.

На всяка стъпка интервалът става 10 пъти по-тесен: [1; 2], [1,4; 1,5], [1,41; 1,42], [1,414; 1,415] …

Приближена стойност с точност до 0,01: 1,41 е приближението отдолу (квадратът му е по-малък от 2), а 1,42 — приближението отгоре (квадратът му е по-голям). Закръгленото до 0,01 е 1,41, защото третата цифра е 4. Внимание: закръгляне не е отрязване — √0,9 ≈ 0,948, отдолу е 0,94, а закръглено е 0,95.

Цифрите на √2 не свършват

1,41421356² = 1,9999999932878736 — и след осем цифри сметката не излиза точно. Калкулаторът показва 1,414213562, но и това е само приближение. Цифрите на √2 не свършват и не се повтарят: √2 е ирационално число. Рационалните и ирационалните числа заедно са реалните числа.

Примерите не са доказателство. Осем цифри не доказват „никога“. Доказателство има: ако крайна десетична дроб завършва с цифра d ≠ 0, квадратът ѝ завършва с цифрата на d² (1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1) — никога с 0. Затова такъв квадрат не може да е точно 2.

Кога коренът е „хубаво“ число? Ако лицето има най-много 2 знака след запетаята, страната е или десетична дроб с най-много 1 знак (√2,25 = 1,5; √0,09 = 0,3), или ирационално число (√2, √0,9, √50). Трети случай няма. И нула в записа не значи край: √50 = 7,0710678…

Изненади

• Под 1 коренът е по-голям от числото: √0,25 = 0,5 > 0,25. При 1 са равни, а над 1 коренът е по-малък (√4 = 2).
• Двойно лице не дава двойна страна. Лице 4 → страна 2; лице 8 → страна √8 ≈ 2,83, около 1,41 пъти повече. Четири пъти по-голямо лице дава точно два пъти по-голяма страна.
• 0,3 · 0,3 = 0,09, не 0,9. Затова √0,09 = 0,3, а √0,9 ≈ 0,9487.

Сравняване на корени

От два квадрата по-голямото лице има по-голямата страна. Затова за сравняване „вкарваме под корена“:

2√5 = √(4 · 5) = √20,   3√2 = √(9 · 2) = √18

20 > 18, значи 2√5 > 3√2 — макар че 2 < 3.

Свойства с плочки

Квадрат, нареден от c · c еднакви плочки с лице b, има лице c² · b. Страната на една плочка е √b, а на целия квадрат — c пъти повече:

√(c² · b) = c√b,   например √72 = √(36 · 2) = 6√2

Така се изнася множител пред корена. За неотрицателни числа е вярно и √(x · y) = √x · √y: √(4 · 9) = √36 = 6 = 2 · 3.

Но: √(a + b) не е √a + √b. Две плочки с лица 9 и 16 една до друга дават отсечка 3 + 4 = 7, а квадратът с лице 9 + 16 = 25 има страна 5.

Рационализиране

1/√2 е неудобно за смятане на ръка: делиш 1 на 1,414. Умножи числителя и знаменателя по √2:

1/√2 = √2 / (√2 · √2) = √2/2 ≈ 1,414 / 2 = 0,707

Знаеш ли, че…

Преди около 3700 години вавилонски писар е записал на глинена плочка (YBC 7289) приближение на √2, вярно до около шестия знак след запетаята. А листът A4 (210 × 297 mm) има отношение на страните почти точно √2: сгънат на две, става A5 с почти същата форма.

Какво е опростено

• Лицето е с най-много 2 знака след запетаята — затова всеки случай се предвижда.
• Квадратите са идеални: при 3 и повече цифри разликата е по-тънка от пиксел и се вижда само в лупата.
• Симулацията смята с цели числа, точно. Калкулаторът и компютърът със запетая грешат малко: там √2 · √2 дава 2,0000000000000004.