Системи и графики

Графиката на функцията

Графиката на y = kx + n е права. Ако k е положително, функцията е растяща, ако е отрицателно – намаляваща. Нулата е x = −n : k.

Графиката на y = ax² + bx + c е парабола. Върхът ѝ е при x = −b : (2a). Ако a е положително, върхът е най-малката стойност; ако е отрицателно – най-голямата.

Дискриминантата D = b² − 4ac казва колко пъти параболата пресича оста Ox: две пъти при D > 0, веднъж при D = 0 (допира я във върха) и нито веднъж при D < 0.

Дали точка лежи на графиката, се проверява със заместване: ако координатите дават вярно равенство, точката е на линията. Чертежът е само оценка – проверката е сметка.

Решението е двойка

Решение на уравнение с две неизвестни е наредена двойка числа, например (3; 2). Решение на система е двойка, която удовлетворява първото и второто уравнение – точка, която лежи и на двете линии. Числото 3 само по себе си не е решение.

Две прави: колко решения?

• различни ъглови коефициенти – правите се пресичат в една точка; системата е определена;
• равни ъглови коефициенти и различни свободни членове – правите са успоредни; няма решение; системата е несъвместима;
• едни и същи прави – безброй решения; системата е неопределена.

Внимавай: две прави, които в малък прозорец изглеждат успоредни, може да се срещат много далече. Натисни „Отдалечи“ и провери – решение има, когато ъгловите коефициенти са различни.

Заместване и събиране

При заместване изразяваш едното неизвестно от едното уравнение и го замествяш в другото. При събиране умножаваш уравненията така, че коефициентите пред едно неизвестно да са противоположни, и ги събираш – то изчезва. И двата метода са верни; единият е по-кратък в различните случаи.

Ако при събирането изчезнат и двете неизвестни, остава числово равенство. Ако е вярно (0 = 0), решенията са безброй. Ако не е вярно (например 0 = −7), решение няма.

Права и парабола, окръжност

След заместването се получава уравнение с едно неизвестно. Ако е квадратно, корените му са първите координати на общите точки. Всеки корен си има своя втора координата – двойките са сдвоени, не се комбинират всяко с всяко.

• права и парабола имат нула, една или две общи точки;
• когато дискриминантата е нула, правата допира параболата – двете точки се сливат в една;
• окръжност и парабола могат да имат три или четири общи точки – броят не е равен на степента на уравнението.

„И“ и „или“

„И“ означава, че точката удовлетворява двете уравнения – това са само общите точки. „Или“ означава поне едно от двете – тогава светват цели линии. Решение на системата е „и“.

Мисиите

Билетите (възрастни и ученици), двете таксита (кога цените са равни), правоъгълникът с даден периметър и диагонал, топката и склонът и лазерът, който трябва само да докосне купола. Не всеки корен е отговор на задачата – понякога едната обща точка е мястото на хвърлянето.