Триъгълници и тела

Решаване на триъгълник

Две теореми стигат за произволен триъгълник със страни a, b, c и срещулежащи ъгли α, β, γ.

• Синусовата теорема: a : sin α = b : sin β = c : sin γ = 2R, където R е радиусът на описаната окръжност. Ползва се, когато е известна двойка страна и срещулежащ ъгъл.
• Косинусовата теорема: a² = b² + c² − 2bc · cos α. Ползва се при две страни и ъгъла между тях, а също при три страни. При прав ъгъл косинусът е нула и теоремата става Питагоровата.
• Лице по три начина, които дават едно и също число: S = ½ · a · h_a, S = ½ · b · c · sin α и по Херон: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), където p е полупериметърът.
• Медиана: m_a = ½ · √(2b² + 2c² − a²). Ъглополовяща: l_a = √(bc((b + c)² − a²)) : (b + c).

Пример: две страни 5 cm и 8 cm с ъгъл 60° между тях дават третата страна точно 7 cm. Закръгляването на синуса на 60° до 0,87 дава 6,9997 – приближението не е точната стойност. При ъгъл 120° и страни 3 cm и 5 cm третата страна също е 7 cm: косинусът на тъп ъгъл е отрицателен и страната расте.

Три страни не винаги образуват триъгълник: сборът на всеки две трябва да е по-голям от третата. Три ъгъла не определят размера – подобните триъгълници имат равни ъгли. Затова за решаването е нужна поне една страна.

Един, два или нито един?

Нека са дадени ъгъл α при върха A, страната b до него и страната a срещу него. Върхът C е на лъча на разстояние b от A. Пергел с радиус a се забожда в C. Колко пъти окръжността пресича лъча, толкова триъгълника има. Височината от C към лъча е h = b · sin α.

• Ако a < h – пергелът не стига: нито един триъгълник.
• Ако a = h – окръжността само допира лъча: един правоъгълен.
• Ако h < a < b и α е остър – два триъгълника, защото синусът на ъгъл и синусът на допълнителния му до 180° са равни.
• Ако a ≥ b – един триъгълник.

Затова „синусът е 0,5, значи ъгълът е 30°“ не е цялата истина: възможен е и 150°. Калкулаторът връща само острия ъгъл.

Синус и косинус до 180°

В интервала от 0° до 180° синусът е неотрицателен, а косинусът на тъп ъгъл е отрицателен. Двойките ъгли x и 180° − x имат равни синуси и противоположни косинуси и тангенси. Тангенсът на 90° не съществува. Затова косинусовата теорема различава остър от тъп ъгъл, а синусовата – не. Тези стойности се четат и върху тригонометричната окръжност.

Прави и равнини в пространството

• Равнина се определя от три точки, които не лежат на една права, от права и точка извън нея, от две пресичащи се прави или от две успоредни прави.
• Две прави в пространството се пресичат, са успоредни или са кръстосани – не се пресичат и не лежат в една равнина. „Не се пресичат“ не значи „успоредни“.
• Ъгълът между две кръстосани прави се намира с успоредно пренасяне: едната права се плъзга, докато пресече другата, и ъгълът се чете в получения триъгълник. Диагоналите на две съседни стени на куба са кръстосани и сключват 60°.
• Ортогоналната проекция на права върху равнина е „сянката“ ѝ. Ъгълът между права и равнина е ъгълът между правата и нейната проекция, а не с коя да е права от равнината.
• Двустенен ъгъл се мери с неговия линеен ъгъл: от точка на ръба се спускат перпендикуляри към ръба, по един във всяка стена. Наклонът на стената на пирамидата е различен от наклона на околния ръб.
• Права, перпендикулярна на две пресичащи се прави от една равнина, е перпендикулярна на цялата равнина.

Разложи на плоски триъгълници

Всяка стереометрична задача се разлага на няколко планиметрични. Пространственият диагонал на кутия w × d × h се намира с два правоъгълни триъгълника: първо диагоналът на дъното √(w² + d²), после √(w² + d² + h²). Кутия 3 × 4 × 12 cm побира пръчка до 13 cm.

Обемът на права призма е V = B · h, а на пирамида – V = B · h : 3. При покрив във формата на правилна четириъгълна пирамида апотемата е k = (s : 2) : cos φ, а околната повърхнина е 2 · s · k. Покривът е само сметка – работата на покрив се прави от обучени хора с обезопасяване.

Чертежът лъже

Чертежът на тяло е изглед, а не истинската форма: прав ъгъл на куба може да изглежда като 138° или 127°, а отгоре – пак 90°. Истинските ъгли и дължини се намират в триъгълниците. Не вярвай на чертежа – вярвай на триъгълника.

Провери, не повтаряй

„Синусът определя ъгъла“, „две прави, които не се пресичат, са успоредни“, „наклонът на ръба е наклонът на стената“ – все твърдения, които звучат убедително и са грешни. Във всяка задача Знайко ти казва нещо; ти го проверяваш със симулацията, преди да решиш дали е вярно. Примерът в сцената не е доказателство за „за всеки“, а един контрапример опровергава.