Математика, 9 клас
Ъгълът решава
Смали правоъгълния триъгълник наполовина – отношенията на страните му не помръдват. Те зависят само от острия ъгъл. Прочети защо, после провери в симулацията.
Четирите отношения
В правоъгълния триъгълник ABC правият ъгъл е при C, а α е острият ъгъл при A. Страната срещу правия ъгъл е хипотенузата c. Катетът срещу α е срещулежащият катет a, а катетът до α е прилежащият катет b.
- синус на α = срещулежащ катет : хипотенуза = a : c;
- косинус на α = прилежащ катет : хипотенуза = b : c;
- тангенс на α = срещулежащ катет : прилежащ катет = a : b;
- котангенс на α = прилежащ катет : срещулежащ катет = b : a.
Кой катет е срещу ъгъла? Завърти триъгълника: имената на катетите зависят от ъгъла, а не от това дали катетът е „долу“ или „вдясно“.
Защо зависят само от ъгъла?
Два правоъгълни триъгълника с един и същ остър ъгъл α имат два равни ъгъла, затова са подобни. Страните им са пропорционални: ако единият е два пъти по-голям, всяка негова страна е два пъти по-дълга – и всяко отношение остава същото.
Синусът е „отпечатък“ на ъгъла, не на триъгълника.
- Синусът и косинусът са между 0 и 1: катетът е по-къс от хипотенузата. Тангенсът и котангенсът могат да са произволно големи.
- Когато ъгълът расте, синусът и тангенсът растат, а косинусът и котангенсът намаляват – но не пропорционално: синусът на 60° не е два пъти синуса на 30°.
Основните тъждества
По Питагор a² + b² = c². Разделяме на c²:
(синус α)² + (косинус α)² = 1
- тангенсът на α е синусът на α : косинуса на α;
- тангенсът по котангенса на един и същ ъгъл е 1.
Другият остър ъгъл
Острите ъгли на правоъгълния триъгълник са α и 90° − α. Катетът срещу единия е прилежащ на другия. Затова синусът на α е косинусът на (90° − α), а тангенсът на α е котангенсът на (90° − α).
Точните стойности
| ъгъл | синус | косинус | тангенс | котангенс |
|---|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 | √3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | √3/3 |
Приближението не е точно число. Косинусът на 30° е √3/2 ≈ 0,866025… Ако вземеш 0,87, проверката 0,87² + 0,5² дава 1,0069, а не 1.
Спусни височина
В равнобедрен триъгълник, в равнобедрен или правоъгълен трапец височината отрязва правоъгълен триъгълник. В него ъгълът при основата, отрязаният катет и бедрото са свързани с косинуса и тангенса на ъгъла.
Мисии: стълбата и кулата
Стълбата до прозореца. Подножието на стълбата трябва да е на около една четвърт от дължината ѝ от стената – тогава косинусът на ъгъла със земята е 1/4 и ъгълът е около 75,5°. Стълба от 10 m стига безопасно най-много 9,68 m. Истинската стълба се поставя от възрастен.
Колко висока е кулата? От разстояние d мерникът сочи върха под ъгъл α. Височината над окото е d по тангенса на α; към нея се добавя височината на окото. При 45° височината над окото е равна на разстоянието.