Окръжността и вълните

Обобщен ъгъл и радиан

Ъгълът се мери от положителната полуос x. Въртенето обратно на часовниковата стрелка дава положителен ъгъл, а по часовниковата стрелка – отрицателен. Ъгълът може да е по-голям от 360°: тогава точката е направила повече от една обиколка.

Радианът мери ъгъла с дължина: дъга, равна на радиуса, е един радиан. Половин обиколка е π радиана, тоест около 3,14 радиуса – не 180. Връзката е 180° = π радиана, затова 1 радиан е около 57,3°.

π не е 180. Градусът и радианът са две мерки за един и същ ъгъл. В симулацията дъгата се „размотава“ по оста x на графиката и стига до 3,14 при половин обиколка.

Косинусът и синусът са координати

Точката върху единичната окръжност (радиус 1) на ъгъл α има две координати: косинус на α е абсцисата, а синус на α е ординатата.

• Затова и двете са между −1 и 1.
• По Питагор: (синус α)² + (косинус α)² = 1.
• Тангенсът е синусът върху косинуса, а котангенсът – косинусът върху синуса; когато делителят е 0, няма стойност.

Период, четност и нечетност

• След пълна обиколка всичко се повтаря: периодът на синуса и на косинуса е 2π (а не π).
• Косинусът е четна функция: косинус на (−α) е косинус на α.
• Синусът е нечетна функция: синус на (−α) е минус синус на α.
• Синусът не е пропорционален на ъгъла: синус 60° не е два пъти синус 30°.

Косинусоидата е същата синусоида, отместена с π/2 наляво.

Точните стойности

В другите квадранти стойностите са същите по големина, но със знака на квадранта. Опорният ъгъл е острият ъгъл между рамото и оста x.

Косинус по даден синус

Ако синус α е известен, то косинус α е ±√(1 − синус²α). Двата знака са двете точки на окръжността с една и съща ордината – вдясно и вляво. Квадрантът избира знака: в първия и в четвъртия косинусът е положителен, във втория и в третия – отрицателен.

Основни уравнения

Правата y = a пресича окръжността и синусоидата. Ако |a| ≤ 1, уравнението синус x = a има решения. Означаваме с x₀ решението от отсечката [−π/2; π/2]. Всички решения са две серии (k е цяло число):

x = x₀ + 2kπ и x = π − x₀ + 2kπ

• За косинуса серите са x = x₀ + 2kπ и x = −x₀ + 2kπ, като x₀ е решението от отсечката [0; π].
• При a = 1 или a = −1 двете серии съвпадат: на период има по едно решение.
• При |a| > 1 решения няма: правата минава над или под вълната.
• В интервал от n пълни периода и 0 < |a| < 1 решенията са 2n (краищата на интервала може да променят броя).

Уравнения, които се свеждат до квадратни

При At² + Bt + C = 0, където t е синус x (или косинус x), първо се решава квадратното уравнение. После се отхвърлят корените извън отсечката [−1; 1] и за всеки останал корен се решава основното уравнение: всеки корен е една хоризонтална права.