Вектори

Вектор

Векторът е насочена отсечка: има начало, край, дължина и посока. На мрежата го описваме със стъпки – например „3 надясно, 1 нагоре“.

Две стрелки с едни и същи стъпки са равни вектори – където и да започват.

• Противоположни: еднаква дължина, обратна посока (a и −a).
• Колинеарни: на една права или на успоредни прави – еднопосочни или противопосочни.
• Нулев вектор: начало и край съвпадат; няма дължина и посока.

„Почти същата посока“ не е същата: 3 надясно и 1 нагоре не е равен на 3 надясно и 2 нагоре.

Събиране

Правило на триъгълника: слагаме началото на b в края на a. Сборът a + b е стрелката от началото на a до края на b.

Правило на успоредника: a и b от общо начало; сборът е диагоналът от общото начало. Двете правила дават една и съща стрелка, защото пренесеният b е същият вектор.

Дължината на сбора не е сборът от дължините: |a + b| ≤ |a| + |b|. Равенство има само при еднопосочни вектори.

Пример: 3 стъпки надясно и 4 нагоре дават сбор с дължина 5 (тройката 3, 4, 5), а не 7. Събирането е разместително и съдружително: редът на векторите не мени сбора.

Изваждане

a − b = a + (−b) – изваждаме, като прибавяме противоположния.

При общо начало a − b е стрелката от края на b към края на a. b − a е противоположният вектор.

Сборът и разликата са двата диагонала на успоредника. При тъп ъгъл между векторите разликата е по-дълга от сбора, а при перпендикулярни векторите двата диагонала са равни (правоъгълник).

Умножение с число

k·a има k пъти повече стъпки от a. При k > 0 посоката е същата, при k < 0 – обратната, при k = 0 се получава нулевият вектор.

Дължината става |k| пъти по-голяма: при k = −1,5 стрелката е по-дълга от a, макар числото да е отрицателно.

Свойства: k(a + b) = ka + kb.

Линейна комбинация

Ако p и q не са на една права, всеки вектор c се представя по един-единствен начин като c = x·p + y·q. Правите, успоредни на p и на q, правят „коса“ мрежа – всеки неин възел има такъв адрес.

Нашата мрежа е частен случай: стъпка надясно и стъпка нагоре. „3 надясно, 2 надолу“ е просто 3·e₁ − 2·e₂.

Ако p и q са на една права, с тях стигаш само до точки от тази права.

Път и вектор

Дрон лети по няколко отсечки. Векторът от старта до финала е сборът на отсечките – не зависи от реда им. Изминатият път е сборът от дължините им и никога не е по-къс от правата. Дрон, който е летял 14 km в квадрат, може да е точно в базата.