Светлинният часовник

Два постулата

• Принцип за относителност. Законите на физиката са еднакви във всички инерциални системи. Във влак без прозорци, който върви равномерно, никой опит не показва дали влакът се движи.
• Скорост на светлината. Скоростта на светлината във вакуум е една и съща за всички наблюдатели, независимо от движението на източника.

Знаеш ли, че… Рьомер през 1676 година пръв оценил скоростта на светлината по затъмненията на спътник на Юпитер, а Майкелсън и Морли не намерили „етерен вятър“ — светлината не се влияе от движението на Земята.

Светлинният часовник

Между две огледала на разстояние L прескача импулс светлина. Един тик е t₀ = 2L/c. Влакът минава покрай перона. За наблюдателя на перона импулсът рисува зигзаг: изминава по-дълъг път със същата скорост, затова тикът е по-дълъг.

От правоъгълния триъгълник с катети L и v·t/2 и хипотенуза c·t/2 следва t = t₀/√(1 − v²/c²). Дължината на влака, измерена от перона, е L = L₀·√(1 − v²/c²): влакът е по-къс. Множителят γ = 1/√(1 − v²/c²) е само помощно означение.

Ефектът е взаимен: от влака изостават часовниците на перона и перонът е по-къс. Забавянето и свиването са измервания в дадената система, а не картина в окото.

Мюоните

Мюоните се раждат високо в атмосферата и живеят около две микросекунди. Без забавянето на времето почти нито един не би стигнал земята, а на морското равнище се засичат около един мюон на квадратен сантиметър в минута. Обяснението от Земята: часовникът на мюона върви по-бавно. Обяснението от мюона: атмосферата е свита. И двете дават едно и също число полуживоти.

Такъв влак няма, но мюоните и частиците в ускорителите наистина летят така. Това е естествен и безопасен фон.

Събиране на скорости

Класическият закон v′ = v + u е верен при малки скорости. При големи v′ = (v + u)/(1 + vu/c²). Така 0,5 c и 0,5 c дават 0,8 c, а светлината от бърз влак лети със скоростта c за перона. Нищо не надхвърля скоростта на светлината.

Ефект на Доплер за светлината

Звукът на сирената се променя, когато се движи сирената или слушателят. За светлината има значение само относителната скорост: ν = ν₀·√((c + v)/(c − v)) при приближаване и ν = ν₀·√((c − v)/(c + v)) при отдалечаване. Затова сигнал от оранжева светлина на влак, който се приближава с 0,6 c, става ултравиолетов.

Приложения: радар за скорост, червеното отместване в светлината на далечните галактики и синьото при звезди, които се приближават.

Енергия и импулс

При големи скорости p = mv/√(1 − v²/c²) и E_k = mc²/√(1 − v²/c²) − mc². Енергията в покой е E₀ = mc², пълната е E = mc²/√(1 − v²/c²) и E² = (pc)² + E₀². За светлинен импулс E = pc. Кинетичната енергия расте без край, когато скоростта се приближава до c, затова тяло с маса не стига скоростта на светлината.

Спътникова навигация. Часовникът на навигационен спътник изостава с около 7 микросекунди на ден само заради скоростта му — около 2 километра грешка за един ден. Гравитацията (извън програмата) добавя още, общо около 11,6 километра. Затова честотата на часовниците се настройва леко по-ниска още на Земята.

Какво опростихме

• Влак със скорост до 0,99 c е мислен опит; такъв влак няма.
• Влакът върви равномерно, ускоряването и спирането не се показват.
• Мюоните са с една скорост и летят право надолу; числото за оцелелите е учебна оценка.
• Доплеровият ефект е само по линията на движение.