Махало и пружина — период и честота

Период, честота, амплитуда

Трептенето е движение, което се повтаря: тялото минава през равновесното положение, отклонява се, връща се. Времето за едно пълно трептене е периодът T (в секунди). Броят на трептенията за една секунда е честотата ν (в херци, Hz): ν = 1/T. Най-голямото отклонение от равновесното положение е амплитудата (размахът).

Периодът и честотата се менят в противоположни посоки: ако едно трептене трае два пъти по-дълго, за една секунда стават два пъти по-малко трептения.

Връщащата сила

Трептене има, когато върху отклоненото тяло действа сила, която го дърпа обратно към равновесното положение — връщаща сила. При пружината тя е F = k·x: колкото по-далеч е товарът, толкова по-силно го дърпа. Затова силата е най-голяма в крайната точка, където тялото за миг спира, и е нула в средата, където то е най-бързо.

Математичното махало

Малка тежка топка на лека нишка с дължина ℓ. При малки ъгли периодът е T = 2π√(ℓ/g). В тази формула няма маса и няма размах: топка от 50 g и топка от 2 kg на еднакви нишки вървят в крак, а махало, пуснато от 5 или от 15 градуса, има почти същия период.

Дължината е под корен: четири пъти по-дълга нишка дава два пъти по-дълъг период, а не четири пъти. „Секундното“ махало (период 2 s, по едно „тик“ на всяко преминаване) е дълго около 1 m.

При големи ъгли махалото е малко по-бавно от формулата: при 60 градуса — с около 7 %. На Луната, където g е около 6 пъти по-малко, махалото е около 2,46 пъти по-бавно.

Пружинното махало

Товар с маса m на пружина с коефициент на еластичност k: T = 2π√(m/k). Тук масата влияе (четири пъти по-тежък товар — два пъти по-дълъг период), а твърдата пружина трепти по-бързо. Размахът и g не влияят: на Луната пружината само се провисва по-малко, а периодът е същият.

Енергията при трептене

В крайната точка тялото спира за миг — цялата енергия е потенциална (при пружината W = k·x²/2). В средата то е най-бързо — енергията е кинетична. Без съпротивление общата енергия остава същата и трептенето не затихва.

В истинските системи има съпротивление на въздуха и триене. Размахът постепенно намалява, а енергията на махалото се превръща в топлина — тя не изчезва.

Принудени трептения и резонанс

Ако побутваш тялото с някаква честота, накрая то трепти с честотата на побутването, а не със своята — това е принудено трептене. Когато побутваш точно в такт със собствената честота, малки побутвания натрупват голям размах — това е резонансът.

Резонансът е полезен: така се люлее люлка, така звучат музикалните инструменти. Може да е и опасен: на някои стари мостове има табела войниците да не маршируват в крак.

Какво опростихме

• Топката е точка на безтегловна нишка, която не се разтяга.
• Пружината е безтегловна и спазва F = k·x навсякъде; подът пази от голямо разтягане.
• Съпротивлението е пропорционално на скоростта; числата „въздух“ и „силно“ са игрови.
• Махалото се люлее в една равнина и тръгва от покой.

За учителя: истинско махало с тежка топка се пуска внимателно, без голям размах към хора.