Космическата станция

Орбитата

Земята привлича тяло с маса m със сила F = γMm/r², където r е разстоянието до центъра ѝ. Ускорението на свободното падане на височина h е g = γM/(R + h)². На 400 km то е около 88 % от земното: гравитацията там съвсем не е изчезнала.

Безтегловността е свободно падане. Станцията и астронавтът падат със същото ускорение, затова везната под краката му показва нула, макар че върху него действа сила около 700 N.

Ако капсулата има хоризонтална скорост v и единствената сила е гравитацията, пътят зависи от скоростта. Равенството γMm/r² = mv²/r дава кръговата скорост v = √(γM/r); първата космическа скорост е v = √(γM/R). По-малка скорост води до падане към атмосферата, по-голяма — до елипса. При v ≥ √(2γM/r) (втората космическа скорост) капсулата не се връща.

Гравитационната сила е консервативна, потенциалната енергия е E_p = −γMm/r, а сборът E_k + E_p е постоянен. Силата е насочена към центъра, затова и моментът на импулса L = mrv се запазва: близо до Земята капсулата е по-бърза. Отсечката „Земя — капсула“ описва равни площи за равни времена.

Знаеш ли, че… За да настигнеш нещо пред себе си на същата орбита, трябва да забавиш: по-ниската елипса е по-къса и по-бърза.

Роботизираната ръка

Действието на сила върху твърдо тяло зависи от приложната ѝ точка. Рамото d е разстоянието от оста до линията на силата, а въртящият момент е M = ±Fd: със знак плюс, когато силата върти обратно на часовниковата стрелка.

Твърдо тяло е в равновесие, когато и двете условия са изпълнени: сборът от силите е нула (F₁ + … + F_n = 0) и сборът от въртящите моменти е нула (M₁ + … + M_n = 0). На стенда реакцията на опората носи сбора на всички тежести, дори когато моментите не се уравновесяват.

В орбита две равни и противоположни сили на различни места — двойка сили — дават сбор нула, а панелът въпреки това се завърта: ε = M/I. Сила в средата на панела само го мести.

Въртенето

Инерчният момент на астронавта с две гири е I = I₀ + 2mr². Когато върху него няма външен момент, моментът на импулса L = Iω се запазва. Прибере ли гирите, I намалява и ω расте — около четири пъти при приближаване от 0,8 m до 0,2 m.

Енергията на въртене E = Iω²/2 = L²/(2I) расте: работата е от мускулите. При разтваряне на ръцете енергията намалява. Запазването на момента на импулса не означава запазване на енергията. Въртящ момент M за време t дава ε = M/I и ω = εt.

Уредът за маса

В безтегловност везната не работи, но масата си остава мярка за инертност. Столче на пружина трепти с кръгова честота ω = √(k/m) и период T = 2π√(m/k), където m е общата маса. От периода се пресмята общата маса kT²/(4π²); от нея се изважда масата на столчето.

Отклонението е x = A sin(ωt + φ₀), където A е амплитудата, ω е кръговата честота, а φ₀ е началната фаза. Връщащата сила F = −kx е най-голяма в крайните точки. Сянката на точка, която обикаля окръжност с радиус A и ъглова скорост ω, прави същото движение. Двойна обща маса дава период √2 пъти по-дълъг, а четворна коравина — наполовина.

Мери време за много трептения: грешката от реакцията ти е една и съща, но се разпределя между всички периоди. Махалото с нишка в станцията не трепти — няма какво да го връща.

Какво опростихме

• Земята е еднородно кълбо, без атмосфера над 100 km. Луната и Слънцето не се отчитат.
• Капсулата и станцията не се привличат една друга.
• Гредата е двумерна, гирите са точки, двигателите дават кратък тласък.
• Пружината е идеална, без триене и затихване.