Фракталното дърво

Части, които приличат на цялото

Стволът е ниво 0. В края си той се разклонява на две (или три) клонки, всяка с дължина r от неговата – например 0,6. Всяка клонка се разклонява по същото правило. Така всяко малко клонче прилича на цялото дърво. Такава форма се нарича фрактал: форма, чиито части приличат на цялото.

Върховете се умножават, не се събират

При две клонки на всяко разклонение всеки връх става два нови. Затова върховете се удвояват на всяко ниво: на 10 нива са 1024, а не 20.

Стига ли тел?

„Всяка клонка е по-къса от предишната“ не стига, за да е телът краен. Важно е колко тел добавя цялото ниво: броят клонки по скъсяването. При две клонки и скъсяване 0,55 всяко ниво добавя 2 · 0,55 = 1,1 пъти тела на предишното – повече от него.

Правилото: брой клонки × скъсяване < 1 – тогава телът спира до граница.

При две клонки това е скъсяване под 0,5, а при три – под 1/3. Затова дърво с три клонки и скъсяване 0,3 харчи точно толкова тел, колкото дърво с две клонки и скъсяване 0,45: и при двете всяко ниво добавя 0,9 от предишното.

Ъгълът не струва тел

Ъгълът на разклоняване сменя формата – от „метла“ до широка корона, – но не и дължината на клонките. Затова общата дължина на тела е една и съща при всеки ъгъл.

Безкраен тел в крайна рамка

Дори когато телът расте без граница, дървото остава в рамка: никоя точка не е по-далеч от основата от L₀ + L₀r + L₀r² + … Например при скъсяване 0,7 и 12 нива телът е 3918,6 cm, а дървото е високо само 63,5 cm – под рамката от 66,7 cm.

Снежинката от триъгълници

Започваме с равностранен триъгълник. На всяка стъпка всяка страна се дели на три, а от средната част изниква малко триъгълниче навън. Оградата става 4/3 пъти по-дълга на всяка стъпка – без граница. А лицето почти спира: то никога не надминава 8/5 от лицето на началния триъгълник, и цялата фигура остава в кръга около него.

Границата на лицето е 56,12 cm².

Под капака (15–16 години)

Ако q = b · r е броят клонки по скъсяването, телът до ниво n е сума на геометрична прогресия:

L₀ + L₀q + L₀q² + … + L₀qⁿ = L₀ · (1 − qⁿ⁺¹) / (1 − q)

При q < 1 сумата се доближава до L₀ / (1 − q). При q = 1 тя е L₀ · (n + 1) и расте без граница, а при q > 1 расте все по-бързо. Снежинката има „дробна размерност“ ln 4 / ln 3 ≈ 1,26: повече от линия, по-малко от плоскост.