От сечения до уравнения

Сечения на тела

Осното сечение на прав кръгов конус с радиус R и височина H е равнобедрен триъгълник с основа 2R и височина H. Лицето му е R·H. Образуващата е l = √(R² + H²).

Успоредното сечение на конуса е окръжност. На височина h над основата радиусът е r = R·(H − h)/H, а лицето е πr². Отношението на лицата е ((H − h)/H)²: на половината височина лицето е една четвърт от лицето на основата, а не половината.

Диагоналното сечение на правилна четириъгълна пирамида с основен ръб a е равнобедрен триъгълник с основа a√2 — диагонала на квадрата, а не ръба — и височина H. Лицето му е a√2·H/2. При пресечена пирамида сечението е равнобедрен трапец с основи a₁√2 и a₂√2, а при пресечен конус — трапец с основи 2R₁ и 2R₂.

Чертежът на тялото не е в мащаб: основата на конуса изглежда като елипса. Всички мерки се четат от числата до сцената, а в равнината сечението е такова, каквото е.

Вектори

Скаларното произведение е число: u·v = u₁v₁ + u₂v₂. Дължината на вектора е |u| = √(u₁² + u₂²), а ъгълът между два ненулеви вектора се намира от cos φ = u·v / (|u|·|v|). Отрицателно скаларно произведение значи тъп ъгъл, нула значи прав ъгъл, положително значи остър. Нулата не значи нулев вектор: (1; 2) и (4; −2) са ненулеви, а произведението им е нула.

Ако са избрани два неколинеарни вектора e₁ и e₂ за база, всеки вектор се записва като линейна комбинация w = α·e₁ + β·e₂. Два вектора са колинеарни, когато u₁v₂ − u₂v₁ = 0.

Права

Правата през точките (x₁; y₁) и (x₂; y₂) има общо уравнение Ax + By + C = 0, където A = y₂ − y₁, B = x₁ − x₂ и C = −(A·x₁ + B·y₁). Когато B ≠ 0, го решаваш за y и получаваш уравнение с ъглов коефициент y = kx + n, където k = −A/B и n = −C/B. Ъгловият коефициент не е A, а n не е C.

Две прави са успоредни при равни ъглови коефициенти и различни n. Перпендикулярни са, когато k₁·k₂ = −1. Острият ъгъл между тях има тангенс |(k₂ − k₁)/(1 + k₁k₂)|.

Окръжност, елипса, хипербола и парабола

• Окръжност с център (p; q) и радиус r: (x − p)² + (y − q)² = r². Права и окръжност имат две, една или нито една обща точка — решава дискриминантата на квадратното уравнение.
• Елипса: x²/a² + y²/b² = 1, a > b. Фокусите са в (±c; 0), където c² = a² − b². Сборът от разстоянията от точка на елипсата до фокусите е винаги 2a.
• Хипербола: x²/a² − y²/b² = 1. Тук c² = a² + b², а модулът на разликата от разстоянията до фокусите е винаги 2a. Асимптотите са y = ±(b/a)·x.
• Парабола: y² = 2px. Фокусът е в (p/2; 0), директрисата е x = −p/2, а всяка точка е на еднакво разстояние от фокуса и от директрисата.

Не бъркай връзките: при елипсата c е по-малко от a, затова фокусът е вътре в нея; при хиперболата c е по-голямо от a.

Наклонената равнина (над програмата)

Когато режещата равнина е успоредна на основата, сечението на конуса е окръжност. Ако я накланяш, окръжността става елипса. Когато наклонът стане равен на наклона на образуващата, кривата се отваря и става парабола. При още по-голям наклон равнината пресича и двете половини на двойния конус и се получава хипербола, а при равнина през оста — две пресичащи се прави. Затова твърдението „всяко сечение на конус е окръжност или елипса“ е грешно.

Тук не се оценява с изчисления; слоят „Наклони равнината“ е за любопитните. Насочвай фенерчето към стената, никога към очите.

Провери, не вярвай

Преди да повярваш на твърдение — на учебник, на съученик или на изкуствен интелект — провери го с число. Влачи точката и виж кое число не се мени. Построй правата и сравни коефициентите. Изчисли лицето по два начина.