Математика, 9 и 10 клас
Знаци и корени
Гледай графиката и числовата ос заедно. Така ще откриеш защо „механичното“ преобразуване понякога лъже. Прочети как работи, после провери в симулацията.
Методът на интервалите
Множител ax + b сменя знака си само в своята нула, а квадратен множител без нули има един и същ знак навсякъде. Затова знакът на произведението и на частното се сменя само в нулите на множителите. Нулите разделят оста на интервали; във всеки интервал избираш едно число и пресмяташ знака.
Ако множителят е на квадрат, например (x − 2)², знакът не се сменя в неговата нула. Правилото „знаците се редуват“ е вярно само за множители от нечетна степен.
Нулите на знаменателя
В нула на знаменателя изразът няма стойност. Затова нулата на знаменателя никога не влиза в решението, дори при знак „≥“ или „≤“. На оста тя е празно кръгче. Нулата на числителя влиза само при „≥“ и „≤“ и е пълно кръгче.
Ако съкратиш общ множител, не забравяй да запомниш изключената точка. Неравенствата (x² − 4)/(x − 2) ≥ 0 и x + 2 ≥ 0 имат различни решения: числото 2 е решение само на второто.
Защо не се умножава по знаменателя
Знаменател с неизвестен знак е положителен от едната страна на нулата си и отрицателен от другата. Умножението по него не обръща знака там, където трябва. Вместо това прехвърли всичко от едната страна и приведи под общ знаменател. Така 1/x < 1 се превръща в (1 − x)/x < 0, а решението е (−∞; 0) ∪ (1; +∞).
Система и съюзи „и“ и „или“
При система от неравенства решението е сечение: числата, които са верни за двете неравенства едновременно („и“). При „или“ решението е обединение: числата, които са верни поне за едно от тях. Двойното неравенство е „и“.
Ирационални уравнения и чужд корен
Квадратният корен е неотрицателен. Когато повдигнеш на квадрат √f = g, получаваш f = g², а това уравнение събира корените и на √f = g, и на огледалното уравнение −√f = g. Кандидатът, който лежи на огледалната крива, е чужд корен.
От √f = g следва f = g², но обратното не е вярно. Затова всеки кандидат се проверява в първоначалното уравнение или с условието g ≥ 0.
При полагане t = √x новото неизвестно е неотрицателно. Отрицателният корен за t се отхвърля. Понякога чужд корен няма, например при √x = x, но това се вижда само след проверка.
Мисиите
„Средната цена“: абонамент с начална такса и цена на посещение. Методът дава и отрицателни n, но посещенията са естествено число. „Ловецът на чужди корени“: пет кандидата падат по оста и ти решаваш кой е корен и кой е чужд.