Лаборатория за редици

Граница на редица и ивицата ε

Числото L е граница на редицата aₙ, когато за всяко положително число ε има такъв номер N, че за всяко n ≥ N да е изпълнено |aₙ − L| < ε. С думи: колкото тясна ивица от L − ε до L + ε да сложиш, от някой номер нататък всички членове са вътре в нея.

Неравенството е строго. Член точно на ръба на ивицата е извън нея. Затова при aₙ = 1/n, L = 0 и ε = 0,1 членът a₁₀ = 0,1 е на ръба и номерът е N = 11, а не 10. При ε = 0,01 получаваш N = 101: колкото по-тясна е ивицата, толкова по-късно опашката влиза в нея.

Ако числото L не е границата, ивицата не може да хване опашката: членовете минават покрай нея. Границата може да е член на редицата: постоянната редица 5, 5, 5, … има граница 5, а членовете на (−1)ⁿ/n скачат от двете страни на 0 и все пак клонят към 0.

До номер 200 членовете се виждат, нататък редицата се доказва по формулата, а не по картинка. Примерите не са доказателство.

Монотонност и ограниченост

Редицата е растяща, ако aₙ₊₁ − aₙ > 0 за всяко n, и намаляваща, ако разликата е отрицателна. Тя е ограничена, ако всички членове са между две числа. Точните граници на множеството от членовете не са границата на редицата: при (−1)ⁿ + 1/n горната граница е 1,5, а редицата няма граница.

• Всяка сходяща редица е ограничена: извън ивицата остават само краен брой членове.
• Ограничена редица не е задължително сходяща: (−1)ⁿ е между −1 и 1, но скача между двете числа.
• Монотонна и ограничена редица винаги е сходяща.

Теореми за граници

Ако aₙ → A и bₙ → B са крайни граници, то границата на сбора е A + B, на разликата — A − B, на произведението — A · B, а на частното — A / B при B ≠ 0. Когато едната граница е безкрайна, теоремите не се прилагат: за 1/n и n² „нула по безкрайност“ няма готов отговор, а произведението е n.

Границата на дроб от вида (p·n + q)/(r·n + s) е p/r. Числото (1 + 1/n)ⁿ не клони към 1: расте, остава под 3 и клони към числото e ≈ 2,718.

Сбор на безкрайно намаляваща геометрична прогресия

Частичните сборове Sₙ = b₁(1 − qⁿ)/(1 − q) са нова редица. При |q| < 1 тя клони към b₁/(1 − q): така 1/2 + 1/4 + 1/8 + … = 1, а 0,999… = 0,9 + 0,09 + 0,009 + … = 1. Безброй положителни събираеми не значи безкраен сбор. При |q| ≥ 1 сбор няма.

Триъгълник на Паскал и биномът на Нютон

Всяко число в триъгълника е сбор от двете над него: C(n; k) = C(n − 1; k − 1) + C(n − 1; k). Редът е симетричен, а сборът на ред n е 2ⁿ, защото (1 + 1)ⁿ = 2ⁿ. Сборът със сменящи се знаци е нула за всеки ред след нулевия.

Биномът на Нютон: (a + b)ⁿ = Σ C(n; k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ, общо n + 1 члена. Не бъркай (a + b)ⁿ с aⁿ + bⁿ: при a = b = 1 лявата страна е 2ⁿ, а дясната — 2. Например (2x − 1)⁵ = 32x⁵ − 80x⁴ + 80x³ − 40x² + 10x − 1.

Доказателство по индукция

Плочките на доминото падат само ако две неща са вярни: базата — първата плочка пада, тоест твърдението е вярно за n₀, и стъпката — от верността за k следва верността за k + 1. Само едното не стига. За n² + n + 1 е четно стъпката е вярна (разликата е 2k + 2), но базата не е (при n = 1 числото е 3) и твърдението е грешно за всяко n. За 2ⁿ > n² базата трябва да е n₀ = 5; при 2, 3 и 4 неравенството не е вярно.

Провери, не вярвай

Преди да повярваш на твърдение — на учебник, на съученик или на изкуствен интелект — провери го с опит. Хвани опашката с ивица, сравни ограничена и сходяща редица, сложи число в бинома.